[논문 리뷰] Large deviations for a random speed particle

R. Lefevere, Mauro Mariani외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 14.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 상자 안에서 이동하는 입자에 대해 경계에서 스토케스틱한 속도 재설정이 일어나며, 속도가 첨도 꼬리 분포에서 i.i.d. 로 선택되는 경우의 경험적 측도에 대한 큰 편차를 조사한다. 꼬리가 충분히 진동하는 경우, 경험적 측도는 표준 큰 편차 원리(standard large deviations principle)를 만족하지 못하며, Donsker-Varadhan 함수와 크게 다를 수 있는 최적의 하한 및 상한 비용 함수를 보인다. 이는 첨도 꼬리로 인한 장거리 의존성에 기인한다.

ABSTRACT

We investigate large deviations for the empirical measure of the position and momentum of a particle traveling in a box with hot walls. The particle travels with uniform speed from left to right, until it hits the right boundary. Then it is absorbed and re-emitted from the left boundary with a new random speed, taken from an i.i.d. sequence. It turns out that this simple model, often used to simulate a heat bath, displays unusually complex large deviations features, that we explain in detail. In particular, if the tail of the update distribution of the speed is sufficiently oscillating, then the empirical measure does not satisfy a large deviations principle, and we exhibit optimal lower and upper large deviations functionals.

연구 동기 및 목표

• 유한 구간 내에서 무작위 속도 재설정 동역학을 가지는 입자의 경험적 측도에 대한 큰 편차를 분석하기 위해.
• 표준 Donsker-Varadhan 큰 편차 원리가 성립하지 않는 조건을 규명하기 위해.
• 속도 분포가 장기간의 복귀 시간을 유도하는 첨도 꼬리일 경우 경험적 측도의 행동을 특성화하기 위해.
• 표준 비용 함수가 무효가 되는 경우 최적의 하한 및 상한 큰 편차 비용 함수를 구성하기 위해.
• 무거운 꼬리로 인한 장기 복귀 시간이 존재할 때 표준 재설정 이론과 역행 기법이 실패하는 이유를 설명하기 위해.

제안 방법

• 입자를 오른쪽 경계에 도달할 때마다 i.i.d. 로 속도를 갱신하는 마코프 과정으로 모델링하고, 간격-충돌 시간 $\tau_i = 1/v_i$ 를 사용하여 재설정 과정의 구조를 사용한다.
• 경험적 측도 $\mu_t = \frac{1}{t} \int_0^t \delta_{(q_s,p_s)} \, ds$ 를 $[0,1) \times \mathbb{R}_+$ 에서 정의하고, 약한 위상 하에서의 큰 편차를 연구한다.
• 과정의 생성자 $L$ 을 $Lg(q,p) = p \partial_q g$ 와 경계 조건 $g(1,p) = \int \psi(d\tau) g(0,1/\tau)$ 를 사용하여 동역학을 분석한다.
• 비용 함수를 계산하기 위해 Donsker-Varadhan 변분 공식 $I(\mu) = \sup_{g>0, g \in D(L)} (-\langle g^{-1} Lg \rangle_\mu)$ 를 적용한다.
• 표본 속도 분포의 꼬리가 매우 느린 속도를 갖는 비율이 무시할 수 없게 되는지 판단하기 위해 $\mathbb{E}[\exp(c/v_i)]$ 의 행동을 분석한다. 여기서 $c>0$ 이다.
• 표준 Donsker-Varadhan 비용 함수가 속도 분포의 진동 꼬리로 인해 실패할 경우, 최적의 하한 및 상한 큰 편차 비용 함수를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 속도 분포에 어떤 조건이 성립할 경우, 랜덤 속도 입자의 경험적 측도가 큰 편차 원리를 만족하지 못하는가?
• RQ2 속도 $v_i$ 의 첨도 꼬리 분포가 불변 측도 수렴과 표준 큰 편차 이론의 타당성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 Donsker-Varadhan 비용 함수가 장기 복귀 시간으로 인해 적용 불가능한 경우 비용 함수의 구조는 어떠한가?
• RQ4 복귀 시간 $1/v_i$ 가 첨도 꼬리를 가지는 경우 표준 재설정 기법과 역행 방법이 왜 실패하는가?
• RQ5 표준 LDP 가 성립하지 않는 경우 최적의 하한 및 상한 큰 편차 비용 함수를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 속도 분포의 꼬리가 충분히 진동하고 $\mathbb{E}[\exp(c/v_i)] = \infty$ 인 경우, 경험적 측도는 큰 편차 원리를 만족하지 못한다. 여기서 $c>0$ 이다.
• Donsker-Varadhan 비용 함수가 실패할 경우, 비용 함수는 표준 형태와 크게 다를 수 있으며, 경험적 측도가 불변 측도에 대해 비정상적인 측도에 집중할 수 있다.
• 속도 분포의 첨도 꼬리로 인해 불변 측도 수렴 속도가 느려지고, 지수 모멘트에 기반한 표준 큰 편차 기법이 무효화된다.
• 표준 방법의 실패 원인은 재설정 과정의 규칙성 부족과 속도의 역수의 유계성 부족으로, 이는 역행 매핑의 적용 가능성을 저해한다.
• 진동 꼬리가 존재하는 경우 최적의 하한 및 상한 큰 편차 비용 함수를 명시적으로 구성하였으며, 이는 시스템이 비표준 희귀 사건 행동을 보임을 보여준다.
• 분석 결과, 지수적으로 작은 확률의 사건이 매우 느린 속도 $v_i \sim t^{-1}$ 의 발생에 의해 지배될 수 있으며, 이러한 사건은 큰 편차 척도에서 무시할 수 없다.