[논문 리뷰] Large deviations for empirical path measures in cycles of integer partitions

Stefan Adams|ArXiv.org|2007. 02. 02.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^d$ 위에서 $N$개의 브라운 운동 시스템에서 경로 측도의 대규모 편차 원리를 확립한다. 초기-종료 조건이 대칭화된 경우이며, 경로들은 랜덤 순열을 통해 연결되어 있다. 주요 결과는 대-$N$ 극한에서 단계 전이를 규명하는 것이다: $d \geq 3$ 이면서 고밀도 또는 긴 시간 영역일 경우, 길이가 무한대인 사이클을 형성하는 경로의 비율이 양수로 나타나며, 이는 양자 통계역학에서의 보스-아인슈타인 응축의 경로 측도 버전으로 해석된다.

ABSTRACT

Consider a large system of $N$ Brownian motions in $\mathbb{R}^d$ on some fixed time interval $[0,β]$ with symmetrised initial-terminal condition. That is, for any $i$, the terminal location of the $i$-th motion is affixed to the initial point of the $σ(i)$-th motion, where $σ$ is a uniformly distributed random permutation of $1,...,N$. In this paper, we describe the large-N behaviour of the empirical path measure (the mean of the Dirac measures in the $N$ paths) when $ Λ\uparrow\mathbb{R}^d $ and $ N/|Λ| oρ$. The rate function is given as a variational formula involving a certain entropy functional and a Fenchel-Legendre transform. Depending on the dimension and the density $ ρ$, there is phase transition behaviour for the empirical path measure. For certain parameters (high density, large time horizon) and dimensions $ d\ge 3 $ the empirical path measure is not supported on all paths $ [0,\infty) o\mathbb{R}^d $ which contain a bridge path of any finite multiple of the time horizon $ [0,β] $. For dimensions $ d=1,2 $, and for small densities and small time horizon $ [0,β] $ in dimensions $ d\ge 3$, the empirical path measure is supported on those paths. In the first regime a finite fraction of the motions lives in cycles of infinite length. We outline that this transition leads to an empirical path measure interpretation of {\it Bose-Einstein condensation}, known for systems of Bosons.

연구 동기 및 목표

• 브라운 운동 시스템에서 $N$개의 입자가 $\mathbb{R}^d$ 위에 있고 초기-종료 조건이 대칭화된 경우의 경험적 경로 측도의 대-$N$ 행동을 분석한다.
• 대-$N$ 극한에서 $\Lambda_N \uparrow \mathbb{R}^d$이고 $N/|\Lambda_N| \to \rho$일 때 경험적 경로 측도에 대한 대규모 편차 원리를 유도한다.
• 차원 $d$, 밀도 $\rho$, 시간 영역 $\beta$에 따라 경험적 경로 측도에서 나타나는 단계 전이 행동을 규명한다.
• 이 시스템에서 길이가 무한대인 사이클이 나타나는 것과 양자 통계역학에서의 보스-아인슈타인 응축 현상 사이의 연결 고리를 규명한다.
• 엔트로피와 페인체르-레지오르 변환을 포함하는 변분 공식을 통해 비용 함수를 표현함으로써, 정수 분할의 이산 형태 측도와 연결한다.

제안 방법

• 모든 순열 $\sigma \in \mathfrak{S}_N$ 과 초기 위치 $x_i \in \Lambda_N$ 에 대한 평균을 취해 대칭 측도 $\mathbb{P}_N^{\rm sym}$ 를 정의하며, 경로들은 순열된 끝점으로 되돌아오도록 제약을 둔다.
• 경험적 경로 측도 $L_N = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \delta_{B^{(i)}}$ 를 구성하여 시스템 내 경로의 평균 분포를 나타낸다.
• 대규모 편차 이론을 $L_N$ 에 적용하고, $N/|\Lambda_N| \to \rho$ 의 스케일링 조건 하에서 변분 공식을 통해 비용 함수를 도출한다.
• 비용 함수를 이산 형태 측도의 엔트로피 항과 자유 에너지 함수의 페인체르-레지오르 변환의 합으로 표현한다.
• 파인만-카크 표현을 사용하여 경로 측도를 보손 입자의 양자 통계역학, 특히 캐논리컬 분할 함수와 연결한다.
• 경로 끝점에 의해 유도된 순열의 사이클 구조를 분석하여, 동역학적 운동량 공간에서의 저에너지 상태의 매크로스코픽 점유도와 관련지운다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확장하는 상자 $\Lambda_N \subset \mathbb{R}^d$ 에 갇힌 시스템에서 입자 밀도 $\rho$ 가 고정되어 있을 때, 대-$N$ 극한에서 경험적 경로 측도는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 차원 $d$, 밀도 $\rho$, 시간 영역 $\beta$ 에 어떤 조건이 성립할 경우 경험적 경로 측도가 단계 전이를 나타내는가?
• RQ3 경로 시스템에서 길이가 무한대인 사이클이 나타나는 것과 양자 시스템에서의 보스-아인슈타인 응축 사이의 연결 고리는 무엇인가?
• RQ4 경험적 경로 측도의 비용 함수는 엔트로피와 자유 에너지 성분으로 어떻게 분해되는가?
• RQ5 정수 분할의 이산 형태 측도는 시스템의 사이클 구조의 대-$N$ 행동을 어떻게 규정하는가?

주요 결과

• $d \geq 3$ 이고 고밀도 또는 긴 시간 영역 $\beta$ 일 경우, 경험적 경로 측도는 모든 경로에 대해 지지되지 않으며, 길이가 무한대인 사이클을 형성하는 경로의 비율이 양수로 나타난다.
• $d = 1,2$ 이며, $d \geq 3$ 에서도 작은 $\rho$ 와 작은 $\beta$ 일 경우, 경험적 경로 측도는 모든 경로에 대해 지지되며 매크로스코픽 사이클은 존재하지 않는다.
• 길이가 무한대인 사이클의 출현은 보손 입자의 양자 시스템에서의 보스-아인슈타인 응축과 유사한 단계 전이로 해석된다.
• 경험적 경로 측도의 비용 함수는 정수 분할의 이산 형태 측도의 엔트로피와 페인체르-레지오르 변환을 포함하는 변분 공식으로 표현된다.
• 경로 끝점에 의해 유도된 랜덤 순열 $\sigma$ 의 사이클 구조는 운동량 공간에서의 영운동량 상태의 매크로스코픽 점유도와 직접적으로 연결되어 있다.
• 단계 전이의 임계 조건은 차원 $d$, 밀도 $\rho$, 시간 영역 $\beta$ 에 따라 달라지며, 시스템의 자유 에너지가 장수 사이클을 유리하게 만들 때 전이가 발생한다.