[논문 리뷰] Large deviations for some corner growth models with inhomogeneity

Elnur Emrah, Christopher Janjigian|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 08.

Random Matrices and Applications참고 문헌 17인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 무작위 행 및 열 파am터에 따라 평균이 달라지는 지수 분포를 가진 무균형 코너 성장 모델에 대해 대규모 변동 원리를 수립한다. 쿨러드-펜첼 변환을 통한 누적 생성 함수의 변환을 통해 쿨러드-펜첼 변환을 통한 누적 생성 함수의 변환을 통해 우측 尾 꼬리 확률 함수의 해석 가능한 변분 표현을 유도하며, 이는 KPZ 유형의 변동과 일치하는 형태로 모양 함수 주변의 전개를 제공한다.

ABSTRACT

We study an inhomogeneous generalization of the classical corner growth in which the weights are exponentially distributed with random parameters. Our main interest is in the quenched and annealed large deviation properties of the last passage times. We derive variational representations of the rate functions for right tail large deviations. The quenched rate function can be computed explicitly for certain choices of the parameter distributions. We present a mechanism for rate n left tail annealed large deviations. In the quenched model these deviations have rate strictly greater than n. The annealed right tail rate function is connected to the quenched rate function through a variational problem involving relative entropy. We identify the speed at which the rate functions decay to zero near the shape function.

연구 동기 및 목표

• 무균형 지수 무게를 가진 코너 성장 모델에서의 최종 통과 시간의 대규모 변동 성질을 분석하기 위해.
• 고정 및 평균화된 설정에서의 우측 꼬리 대규모 변동 확률 함수에 대해 해석 가능한 변분 표현을 도출하기 위해.
• 좌측 꼬리 대규모 변동을 추정하고 모양 함수 주변의 변동을 분석하기 위해.
• 확률 함수를 KPZ 보편성과 연결하기 위해 결정론적 모양 함수 주변의 전개를 계산하기 위해.
• i.i.d. 모델에서 알려진 결과를 랜덤 행 및 열 파am터를 가진 무균형 설정으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 무작위 파am터 $\mathbf{a}$ 및 $\mathbf{b}$에 대해 평균 $(a_i + b_j)^{-1}$인 독립적인 지수 랜덤 변수로 무게를 모델링한다. $\mathbf{a}$ 및 $\mathbf{b}$는 0으로부터 분리된 i.i.d. 수열이다.
• 무작위 파am터 $\mathbf{a}$ 및 $\mathbf{b}$에 조건을 부여하거나 평균을 내어 고정 및 평균 설정을 정의한다.
• 하나의 수렴을 위한 하향적 에르고딕 이론을 사용하여 $n^{-1}G(\lfloor ns\rfloor, \lfloor nt\rfloor)$ 가 결정론적 극한으로 거의 확실히 수렴함을 증명한다.
• 누적 생성 함수의 레전드르-펜첼 변환을 통해 오른쪽 꼬리 확률 함수의 변분 표현을 유도한다.
• 횔러의 부등식과 단조성 추론을 사용하여 $(s,t)$에서의 확률 함수의 볼록성과 동차성을 증명한다.
• 스케일링 및 근사 추론을 사용하여 유리수에서 실수 $s,t > 0$로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정 및 평균 설정 하에서 무균형 코너 성장 모델의 최종 통과 시간에 대한 대규모 변동 확률 함수는 무엇인가?
• RQ2 확률 함수는 모양 함수 주변에서 어떻게 행동하는가? 그리고 KPZ 유형의 변동 스케일을 보여주는가?
• RQ3 누적 생성 함수 $\mathbf{L}_{s,t}(\lambda)$ 및 $\mathbb{L}_{s,t}(\lambda)$의 점근적 행동는 무엇인가?
• RQ4 고정 및 평균 설정 간의 확률 함수는 어떻게 다름가? 그리고 무균형성은 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 좌측 꼬리 대규모 변동은 추정할 수 있는가? 그리고 오른쪽 꼬리 행동과 비교해보면 어떻게 되는가?

주요 결과

• 고정 설정에서의 오른쪽 꼬리 대규모 변동 확률 함수는 무게의 누적 생성 함수를 포함하는 변분 공식으로 주어진다.
• 평균 설정에서는 확률 함수 역시 변분 형태이며, 무작위 파am터 $\mathbf{a}$ 및 $\mathbf{b}$에 대한 기댓값으로 표현될 수 있다.
• 모양 함수 주변의 확률 함수 전개는 $n^{1/3}$ 스케일 변동과 일치하며, 이는 KPZ 유형의 행동을 나타낸다.
• 누적 생성 함수 $\mathbf{L}_{s,t}(\lambda)$ 및 $\mathbb{L}_{s,t}(\lambda)$ 는 거의 확실히 수렴하며, $\lambda$에 대해 볼록하고 비감소적이다.
• $\lambda \mapsto \lambda \mathbf{L}_{s,t}(\lambda)$ 및 $\lambda \mapsto \lambda \mathbb{L}_{s,t}(\lambda)$ 는 $(s,t)$에서 동차하고 볼록하다.
• 속도 $n$으로 대규모 변동 원리가 성립하며, 확률 함수는 하향적 에르고딕 이론 및 스케일링 극한을 통해 특징지어진다.