[논문 리뷰] Large Deviations for the Empirical Distribution in the General Branching Random Walk

Oren Louidor, Eliad Tsairi|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 07.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 최소한의 모멘트 및 지지 조건 하에서 일반 분기 랜덤 워크에서 경험 분포에 대한 대규모 편차 원리를 수립한다. 확률이 큰 편차에서 분포하는 비율이 이중 지수적으로 감소하며, 속도는 $ n $ 또는 $ \sqrt{n} $로 선형적으로 변하며, 각 영역에 대해 정확한 속도 함수 $ I(A,p) $ 및 $ J(A,p) $ 를 유도한다.

ABSTRACT

We consider the general branching random walk under minimal assumptions, which in particular guarantee that the empirical particle distribution admits an almost sure central limit theorem. For such a process, we study the large time decay of the probability that the fraction of particles in a typical set deviates from its typical value. We show that such probabilities decay doubly exponentially with speed which is either linear in or the square root of the number of generations, depending on the set and the magnitude of the deviation. We also find the rate of decay in each case.

연구 동기 및 목표

• 일반 분기 랜덤 워크에서 입자 경험 분포가 그 일반적인 값에서 벗어나는 확률의 장기적 감쇠를 연구하기 위해.
• 기존의 독립적 이동 가정을 초월하여 의존적 복제를 포함한 일반적인 경우로 대규모 편차 결과를 확장하기 위해.
• 최소한의 모멘트 및 지지 조건 하에서 이러한 편차의 감쇠 속도 및 속도 함수를 특성화하기 위해.
• 감쇠가 이중 지수적이며, 집합과 편차 크기에 따라 속도가 $ n $ 또는 $ \sqrt{n} $임을 입증하기 위해.
• 두 가지 다른 감쇠 영역에 대해 명시적인 속도 함수 $ I(A,p) $ 및 $ J(A,p) $ 를 도출하기 위해.

제안 방법

• 독립 동일분포의 후손 분포를 이용한 재귀적 점 측도 동역학을 통해 일반 분기 랜덤 워크를 수식화하기 위해.
• 최소한의 가정 (A1)-(A5): 적분 가능성, 평균이 0인 이동, 유한한 로그 모멘트, 이산 지지, 비퇴화성.
• 경험 측도 $ \bar{Z}_n = Z_n / |Z_n| $ 를 정의하고, $ p > \nu(A) $ 에 대해 $ \mathbb{P}(\bar{Z}_n(\sqrt{n}A) \geq p) $ 를 연구하기 위해.
• 속도 $ \sqrt{n} $ 와 $ n $ 에 각각 대응하는 속도 함수 $ I(A,p) $ 와 $ J(A,p) $ 를 도입하기 위해.
• 대규모 편차 기법, 특히 지수 기울임 및 경로 구성 기법을 사용하여 입자 수와 위치 분포를 근사하기 위해.
• 성장과 평균 위치가 제어된 극한 측도 $ \zeta_n \in \mathcal{Z}_n(b) $ 를 구성하여 편차 확률의 하한을 확보하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 분기 랜덤 워크에서 입자의 경험 측도가 일반적인 값에서 벗어나는 확률의 점점 커지는 감쇠 속도는 무엇인가?
• RQ2 감쇠 속도는 집합 $ A $ 와 편차 수준 $ p > \nu(A) $ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 어떤 조건에서 감쇠 속도가 $ \sqrt{n} $ 에서 $ n $ 으로 바뀌며, 이러한 구분은 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ4 각 영역에서 이중 지수 감쇠를 지배하는 정확한 속도 함수 $ I(A,p) $ 와 $ J(A,p) $ 는 무엇인가?
• RQ5 결과는 독립적 이동 모델을 초월하여 의존적 복제를 포함한 일반적인 경우로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 확률 $ \mathbb{P}(\bar{Z}_n(\sqrt{n}A) \geq p) $ 는 $ n \to \infty $ 일 때 이중 지수적으로 감소하며, 집합 $ A $ 와 $ p $ 에 따라 속도가 $ \sqrt{n} $ 또는 $ n $ 이 된다.
• 집합 $ A $ 와 편차 $ p $ 가 $ \nu(A) < p < 1 $ 를 만족하는 경우, 속도가 $ \sqrt{n} $ 이면 감쇠 속도는 $ I(A,p) $ 가 지배하고, 속도가 $ n $ 이면 $ J(A,p) $ 가 지배한다.
• 속도 함수 $ I(A,p) $ 는 입자 수와 그들의 공간적 산산이 흩어지는 희귀한 변동에 의해 유도되는 영역에 해당한다.
• 속도 함수 $ J(A,p) $ 는 복제율 $ b $ 의 희귀한 변동에 의해 지배되는 영역에서 나타나며, $ \alpha^+ $ 와 $ \alpha^- $ 는 입자 높이의 최대 성장 및 감쇠 속도를 결정한다.
• 증명 과정에서 $ \alpha^\pm_n \uparrow \alpha^\pm \in (0, r_0] $ 임을 입증하여, 가정 조건 하에서 극한 성장 속도의 존재를 보장한다.
• 성장과 위치가 제어된 극한 측도 $ \zeta_n \in \mathcal{Z}_n(b) $ 의 구성, 즉 $ |\zeta_n| \approx e^{bn} $ 과 $ \langle \bar{\zeta}_n, x \rangle \approx n \cdot \beta^{-1}(b_1 - b) $ 는 이러한 희귀 경로가 존재하고, 성장 및 위치가 제어됨을 확인한다.