[논문 리뷰] Large deviations for the two-dimensional stochastic Navier-Stokes equation with vanishing noise correlation

Sandra Cerrai, Arnaud Debussche|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 약한 수렴 방법을 사용하여 소음 상관 길이 $\delta(\epsilon) \to 0$ 이며 소음 강도 $\sqrt{\epsilon} \to 0$일 때, 두 차원 스토케스틱 나비에-스토크스 방정식에 대해 대칭 원리(LDP)를 수립한다. $\delta(\epsilon) \to 0$ 이고 $\sqrt{\epsilon} \to 0$일 때, 해는 $C([0,T];H)$ 또는 베소프 공간 $\mathcal{B}^\sigma_p(D)$에서 LDP를 만족하며, 행동 함수수는 공간-시간 백색소음 극한에 대응하는 표준 형태 $I_T(f) = \frac{1}{2}\int_0^T |f'(t) - Af(t) - b(f(t))|_H^2 dt$로 수렴한다.

ABSTRACT

We are dealing with the validity of a large deviation principle for the two-dimensional Navier-Stokes equation, with periodic boundary conditions, perturbed by a Gaussian random forcing. We are here interested in the regime where both the strength of the noise and its correlation are vanishing, on a length scale $\\e$ and $\\d(\\e)$, respectively, with $0<\\e,\\ \\d(\\e)<<1$. Depending on the relationship between $\\e$ and $\\d(\\e)$ we will prove the validity of the large deviation principle in different functional spaces.

연구 동기 및 목표

• 약한, 공간적으로 상관된 소음 하에서 2차원 스토케스틱 나비에-스토크스 방정식의 대칭 행동을 분석한다.
• 소음 강도 $\sqrt{\epsilon}$ 와 상관 길이 $\delta(\epsilon)$ 가 $\epsilon \to 0$ 일 때 모두 0으로 수렴하는 극한 영역을 조사한다.
• $\epsilon$ 와 $\delta(\epsilon)$ 사이의 다양한 스케일링 관계에 따라 LDP가 성립하는 함수 공간을 규명한다.
• 비백색 소음의 구조에도 불구하고, 공간-시간 백색소음에 대응하는 표준 형태의 행동 함수수로 수렴하는지 증명한다.

제안 방법

• SPDE의 대칭 원리에 대한 약한 수렴 방법을 [6]에서 체계화한 바에 따라, 해 가중족 $\{u_{\epsilon,\delta(\epsilon)}\}_{\epsilon>0}$ 에 대해 LDP를 유도한다.
• 소음을 $\sqrt{\epsilon} \partial_t \xi^\delta$ 로 모델링하며, $\xi^\delta$ 는 상관 길이 $\delta(\epsilon)$ 를 가진 공간적으로 매끄러운 가우시안 과정이다.
• 해의 연속성과 계약 원리를 적용하여 소음 공간에서의 LDP를 해 공간으로 이행한다.
• 조건 $\epsilon \delta(\epsilon)^{-\eta} \to 0$ 이면서 $\eta > 0$ 이면, 행동 함수수 $I_T^\delta(f)$ 가 $\delta(\epsilon) \to 0$ 일 때 표준 형태 $I_T(f)$ 로 수렴함을 분석한다.
• 특히 $\sigma < 0$ 인 $H^\sigma(D)$ 와 같은 베소프 및 소볼레프 유사 공간에서 확률 미분 계산을 활용하여 소음과 해 경로의 정규성을 제어한다.
• 정규화된 코어스 항의 수렴과 $L^\kappa(\mathcal{H}, \mu; [H^\sigma(D)]^4)$ 에서의 $h_\delta \otimes h_\delta - \vartheta_\delta I$ 의 극한을 이용하여 행동 함수수의 극한을 정당화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소음 강도 $\epsilon$ 와 상관 길이 $\delta(\epsilon)$ 가 어떤 스케일링을 따를 때, 2차원 스토케스틱 나비에-스토크스 방정식의 해가 $C([0,T];H)$ 에서 대칭 원리를 만족하는가?
• RQ2 소음 상관 길이 $\delta(\epsilon) \to 0$ 일 때, 해의 극한 행동 함수수 $I_T(f)$ 가 표준 형태 $I_T(f) = \frac{1}{2}\int_0^T |f'(t) - Af(t) - b(f(t))|_H^2 dt$ 로 수렴하는가?
• RQ3 $\delta(\epsilon)$ 가 어떤 $\eta > 0$ 에 대해 $\epsilon^{\eta}$ 보다 느리게 감소할 경우, LDP가 어떤 함수 공간에서 성립하는가?
• RQ4 소음이 공간-시간 백색소음이 아니더라도, 소음 상관 길이와 강도가 모두 0으로 수렴하는 영역에서 약한 수렴 방법을 사용하여 LDP를 도출할 수 있는가?
• RQ5 정규화된 소음의 이차변동의 역할은 행동 함수수 수렴에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 $\eta > 0$ 에 대해 $\epsilon \delta(\epsilon)^{-\eta} \to 0$ 이면, 가중족 $\{u_{\epsilon,\delta(\epsilon)}\}_{\epsilon>0}$ 은 $C([0,T];H)$ 에서 대칭 원리를 만족하며, 비율 $\epsilon$ 과 행동 함수수 $I_T(f)$ 를 가진다.
• $\delta(\epsilon)$ 가 $\epsilon^{\eta}$ 보다 느리게 감소하는 영역에서는, $\sigma < 0$ 과 $p \geq 2$ 인 베소프 공간 $C([0,T];\mathcal{B}^\sigma_p(D))$ 에서 LDP 가 성립하며, 동일한 극한 행동 함수수 $I_T(f)$ 를 가진다.
• 비백색 소음의 구조에도 불구하고, 극한 행동 함수수 $I_T(f)$ 는 공간-시간 백색소음에 대응하는 표준 형태와 일치한다.
• 소음 공분산 연산자 $Q_\delta$ 가 강한 연산자 위상에서 항등원으로 수렴함으로써 행동 함수수 $I_T^\delta$ 가 $I_T$ 로 점근 수렴함을 보장한다.
• 정규화된 소음 항 $h_\delta \otimes h_\delta - \vartheta_\delta I$ 는 $\sigma < 0$ 인 $L^\kappa(\mathcal{H}, \mu; [H^\sigma(D)]^4)$ 에서 수렴하며, 이는 극한 행동 함수수의 정당화를 가능하게 한다.
• 해의 연속성 맵은 $C([0,T];\mathcal{B}^\sigma_p(D))$ 위상에서 연속이므로, 계약 원리를 적용하여 이 공간에서 LDP 를 도출할 수 있다.