[논문 리뷰] Large deviations of convex hulls of planar random walks

Arseniy Akopyan, Vladislav Vysotsky|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 23.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 증분의 Laplace 변환이 유한한 평면 랜덤 워크의 볼록껍데기 둘레와 면적에 대한 대 deviations 원리를 수립한다. 둘레와 면적에 대한 명시적 비율 함수를 유도하며, 회전 대칭성 또는 가우시안 증분의 경우 최적의 궤적은 선분(둘레) 또는 반원(면적)으로 정렬되며, 평균 이격이 있는 가우시안 워크의 경우 공분산 구조에 따라 타원 또는 포물선 호가 최적의 형태가 된다.

ABSTRACT

We prove large deviations principles for the perimeter and the area of the convex hull of a planar random walk with finite Laplace transform of its increments. We give explicit upper and lower bounds for the rate function of the perimeter in terms of the rate function of the increments. These bounds coincide, hence giving the rate function, for a wide class of distributions which includes the Gaussians and the rotationally invariant ones. For random walks with such increments, large deviations of the perimeter of the convex hull are attained by the trajectories that asymptotically align into line segments but in general, line segments may not be optimal. Furthermore, we find explicitly the rate function of the area of the convex hull for random walks with rotationally invariant distribution of increments. For such walks, which necessarily have zero mean, large deviations of the area are attained by the trajectories that asymptotically align into half-circles. For random walks with non-zero mean increments, we found the rate function of the area for Gaussian walks with drift. Here the optimal limit shapes are elliptic arcs if the covariance matrix of increments is non-degenerate and parabolic arcs if otherwise.

연구 동기 및 목표

• 평면 랜덤 워크의 볼록껍데기 둘레와 면적에 대한 대 deviations 원칙을 수립하기.
• 증분 분포에 대한 일반 조건 하에서 이 기능들의 비율 함수를 특성화하기.
• 둘레와 면적의 대 deviations 를 실현하는 최적의 궤적 형태를 규명하기.
• 특수한 경우, 즉 가우시안 및 회전 대칭 증분에 대해 비율 함수의 명시적 표현을 도출하기.
• 최적의 형태가 증분의 평균과 공분산에 어떻게 의존하는지 분석하기.

제안 방법

• 증분의 Laplace 변환이 유한한 평면 랜덤 워크의 볼록껍데기에 대 deviations 이론을 적용한 분석을 수행한다.
• 둘레의 비율 함수는 증분 분포의 비율 함수를 바탕으로 상한과 하한이 제시되며, 회전 대칭성 및 가우시안 증분의 경우 등호가 성립한다.
• 면적의 경우 대칭성과 모멘트 생성 함수 기법을 활용하여 명시적 비율 함수를 도출하며, 특히 회전 대칭성 및 이격된 가우시안 워크에 대해 유용하다.
• 변분 원리를 통해 최적의 궤적을 규명하며, 대 deviations 는 점점 선분, 반원, 또는 타원/포물선 호로 정렬되는 경로에 의해 실현됨을 보여준다.
• 영 평균과 비영 평균 증분을 구분하여 각각 다른 최적의 형태가 나타남을 다룬다.
• 볼록껍데기 성질과 극단적 편차 하에서의 랜덤 워크 경로 기하학적 성질을 활용한 유도 과정을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 증분의 Laplace 변환이 유한한 평면 랜덤 워크의 볼록껍데기 둘레에 대한 비율 함수는 무엇인가?
• RQ2 둘레의 대 deviations 를 실현하는 최적의 궤적이 증분 분포에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 회전 대칭 증분의 경우 볼록껍데기 면적에 대한 비율 함수는 무엇인가?
• RQ4 증분이 비영 평균과 비퇴화 공분산을 가질 경우 면적의 대 deviations 에 대한 최적의 형태는 어떻게 변화하는가?
• RQ5 선분, 반원, 또는 타원/포물선 호가 볼록껍데기 기능에 대해 최적의 한계 형태가 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 회전 대칭성 또는 가우시안 증분을 가진 랜덤 워크의 경우, 둘레의 비율 함수는 증분 분포의 비율 함수로부터 유도된 상한과 하한을 일치시킴으로써 명시적으로 결정된다.
• 둘레의 대 deviations 를 실현하는 최적의 궤적은 점점 선분으로 정렬되지만, 일반적으로는 항상 최적은 아닐 수 있다.
• 영 평균, 회전 대칭 증분의 경우 면적의 비율 함수는 명시적으로 계산되며, 최적의 궤적은 반원으로 정렬된다.
• 이격된 공분산을 가진 가우시안 워크의 경우 면적의 대 deviations 에 대한 최적의 형태는 타원 호이다.
• 증분의 공분산 행렬이 퇴화된 경우 면적 편차의 최적 형태는 포물선 호가 된다.
• 결과적으로 둘레와 면적에 대한 대 deviations 가 완전히 특성화되었으며, 형태의 최적성은 증분의 평균과 두 번째 모멘트의 구조에 따라 달라진다.