[논문 리뷰] Large deviations of subgraph counts for sparse Erd\H{o}s--R\'enyi graphs

Nicholas A. Cook, Amir Dembo|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 28.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 31인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 희박한 에르되시-레니 무작위 그래프에서 부분그래프 수의 날카운 대칭점근을 확립하며, 대칭점근 영역에 맞게 조정된 수량적 세제기의 정규화 및 수량적 수세기 보조정리의 양식을 도입한다. 이는 고정된 그래프 $ H $ 의 호모모르피즘 수의 상부 尾 확률에 대한 주요 지수적 속도를 증명하며, 이전 연구보다 향상된 희박성 임계값을 확보하고, $ ho(H) = 1/2 $ 일 때 사이클 수에 대해 최적성을 달성한다.

ABSTRACT

For any fixed simple graph $H=(V,E)$ and any fixed $u>0$, we establish the leading order of the exponential rate function for the probability that the number of copies of $H$ in the Erd\\H{o}s--R\\'enyi graph $G(n,p)$ exceeds its expectation by a factor $1+u$, assuming $n^{-\\kappa(H)}\\ll p\\ll1$, with $\\kappa(H) = 1/(2\\Delta)$, where $\\Delta\\ge 1$ is the maximum degree of $H$. This improves on a previous result of Chatterjee and the second author, who obtained $\\kappa(H)=c/(\\Delta|E|)$ for a constant $c>0$. Moreover, for the case of cycle counts we can take $\\kappa$ as large as $1/2$. We additionally obtain the sharp upper tail for Schatten norms of the adjacency matrix, as well as the sharp lower tail for counts of graphs for which Sidorenko's conjecture holds. As a key step, we establish quantitative versions of Szemer\\'edi's regularity lemma and the counting lemma, suitable for the analysis of random graphs in the large deviations regime.

연구 동기 및 목표

• 희박한 에르되시-레니 그래프 $ G(n,p) $ 에서 $ p o 0 $ 일 때 호모모르피즘 수의 대칭점상부 문제를 해결하기 위해.
• 대칭점 영역에서 희박한 무작위 그래프에 적합한 수량적 세제기의 정규화 보조정리와 수세기 보조정리의 양식을 개발하기 위해.
• 이전 연구자들(찰라테지와 데모)의 결과를 초월하여, 날카운 점근적 결과가 알려진 상부 尾 확률의 희박성 임계값 $ p o 0 $ 을 향상시키기 위해.
• 접합 행렬의 슈atten $ eta $-노름과 사이드렌코 추측을 만족하는 그래프에 대해 날카운 상부 및 하부 尾 추정을 확립하기 위해.
• 그래프 이론을 초월하여 산술적 등차수열이 희박한 무작위 집합에서 발생하는 데 적용 가능한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 희박한 그래프 대칭점에 맞게 조정된 수량적 정규화 보조정리를 도입하며, 파art 수와 $ ho $-정규성에 대한 명시적 상한을 포함한다.
• 희박성과 $ ho $-정규성 하에서 호모모르피즘 수 추정 오차를 제어하는 수량적 수세기 보조정리를 개발한다.
• 정규화 보조정리와 수세기 보조정리를 활용해 희박한 영역에서의 상부 尾 확률 $ bP( ext{hom}(H,G) o (1+u)n^{ u(H)}p^{ au(H)}) $ 를 분석한다.
• 이항분포에 대한 대칭점원리와 인접행렬 원소에 대한 엔트로피 기반 상한을 사용해 尾 사건을 제어한다.
• 연산자 노름과 추적 부등식을 통해 호모모르피즘 수의 상부 尾과 접합 행렬의 슈atten $ eta $-노름 사이의 연결고리를 설정한다.
• 사이드렌코 추측을 활용해, 엔트로피 최소화와 행렬 농도 기반 기법을 통해 사이드렌코 추측을 만족하는 그래프에 대해 날카운 하부 尾 추정을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 희박한 에르되시-레니 그래프에서 상부 尾 확률 $ bP( ext{hom}(H,G) o (1+u)n^{ u(H)}p^{ au(H)}) $ 의 날카운 점근 속도는 무엇인가?
• RQ2 대칭점 영역에서 희박한 무작위 그래프를 다룰 수 있도록 수량적 세제기의 정규화 보조정리와 수세기 보조정리의 형태를 구성할 수 있는가?
• RQ3 대칭점 속도가 날카로워지는 최적의 희박성 임계값 $ p = n^{-c} $ 는 무엇이며, 이는 그래프 $ H $ 의 구조에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 접합 행렬의 슈atten 노름의 상부 및 하부 尾은 희박한 영역에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 사이드렌코 추측을 만족하는 그래프에 대해 날카운 尾 추정을 유도하는 데 확장 가능한가?

주요 결과

• 임의의 고정된 단순 그래프 $ H $ 에 대해, $ p o 0 $ 일 때 $ G(n,p) $ 에서 $ ext{hom}(H,G) $ 의 상부 尾의 주요 지수적 속도를 확립하며, 조건 $ n^{- ho(H)} o 0 $ 이며 $ ho(H) = 1/(2 riangle) $ 이고, $ riangle $ 은 $ H $ 의 최대 차수이다.
• 이전의 결과(찰라테지와 데모)에서 제시된 $ ho(H) = c/( riangle |E|) $ 의 상한에 비해 향상된 희박성 임계값 $ ho(H) = 1/(2 riangle) $ 을 확보한다.
• 사이클 수 $ ext{hom}( extsf{C}_ au, G) $ 에 대해, 메서드가 최적의 임계값 $ ho(H) = 1/2 $ 을 달성하며, 이는 최적임이 추측되는 바이다.
• 접합 행렬의 슈atten $ eta $-노름에 대해 날카운 상부 尾 점근을 도출하며, 이는 $ q = sp $, $ s o 0 $ 일 때 $ inom{n}{2} I_p(q) $ 와 점근적으로 동치임을 보여준다.
• 사이드렌코 추측을 만족하는 그래프 $ H $ 에 대해, $ bP( ext{hom}(H,G) o (1-u)n^{ u(H)}p^{ au(H)}) $ 의 날카운 하부 尾 추정을 확보하며, 이는 엔트로피 기반 하한과 일치하는 속도 함수를 가진다.
• 수량적 정규화 보조정리와 수세기 보조정리는 대칭점 영역에서 효과적인 도구로 밝혀지며, 희박성에 따라 적절하게 스케일링되는 명시적 오차 상한을 제공한다.