[논문 리뷰] Large genus asymptotics for lengths of separating closed geodesics on random surfaces

Xin Nie, Yunhui Wu외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 16.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 26인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 대수적 종수 $g$ 가 큰 경우 무작위 히에르볼릭 표면 위에서의 분리 성분의 길이 및 연관된 기하학적 양의 渐近적 행동을 Weil-Petersson 측도에 대해 규명한다. $g \to \infty$ 일 때, 일반적인 표면는 길이 약 $2\log g - 4\log\log g$ 의 분리 성분의 길이를 가지며, 너비 $\frac{1}{2}\log g - \frac{3}{2}\log\log g$ 의 반 콜라주를 가지며, 가장 짧은 분리 성분을 가진 닫힌 다중 지오데식의 길이 또한 $\sim 2\log g$ 를 가지며, 높은 확률로 이를 만족한다. 이러한 결과들은 고종수 히에르볼릭 기하학에서 극값 기하학적 불변량의 이해를 더욱 정교하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate basic geometric quantities of a random hyperbolic surface of genus $g$ with respect to the Weil-Petersson measure on the moduli space $\mathcal{M}_g$. We show that as $g$ goes to infinity, a generic surface $X\in \mathcal{M}_g$ satisfies asymptotically: (1) the separating systole of $X$ is about $2\log g$; (2) there is a half-collar of width about $\frac{\log g}{2}$ around a separating systolic curve of $X$; (3) the length of shortest separating closed multi-geodesics of $X$ is about $2\log g$. As applications, we also discuss the asymptotic behavior of the extremal separating systole, the non-simple systole and the expectation value of lengths of shortest separating closed multi-geodesics as $g$ goes to infinity.

연구 동기 및 목표

• 무작위 히에르볼릭 표면의 종수 $g$ 가 $g \to \infty$ 로 갈 때 분리 성분의 길이의 渐近적 행동을 규명하는 것.
• Weil-Petersson 무작위 모델에서 분리 성분의 길이에 대한 반 콜라주의 존재성과 너비를 분석하는 것.
• 고종수에서 가장 짧은 분리 성분을 가진 닫힌 다중 지오데식의 길이와 그 위상적 유형을 연구하는 것.
• 분리 성분의 기대값을 확립하고, 극값 기하학적 불변량의 渐近적 분포와 연관짓는 것.
• 기존의 성분 기하학 결과를 분리 곡선과 다중 지오데식으로 확장하여 랜덤 표면 이론에서 열려 있는 질문들을 해결하는 것.

제안 방법

• Mirzakhani의 체적 渐近적 행동과 Weil-Petersson 측도를 활용하여 $\mathcal{M}_g$ 위에서 기하학적 불변량의 통계적 행동을 분석하는 것.
• 콜라주 보조정리와 쌍곡 기하학을 적용하여 분리 지오데식 주위의 반 콜라주 너비를 한정하는 것.
• 분리 성분의 길이가 $2\log g - 4\log\log g \pm \omega(g)$ 근처에 밀도 있게 집중되는 두꺼운 집합 $\mathcal{B}(\omega(g))$ 를 구성하는 것.
• 확률적 농도 추론을 사용하여, 점점 $g \to \infty$ 가 되면서 점점 1에 수렴하는 확률로 점 渐近적 경계를 만족하는 것을 보이는 것.
• [PWX21]에서의 기대 성분 길이 결과를 활용하여 $\mathbb{E}_{\rm WP}^g[\mathcal{L}_1] \sim 2\log g$ 에 대한 경계를 유도하는 것.
• 문제를 하나의 구멍이 있는 토러스나 세 개의 구멍이 있는 구면을 둘러싸는 다중 지오데식의 수를 세는 것으로 환원하며, 그 기대값은 $\sim \frac{L^2 e^{L/2}}{g}$ 와 같다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 히에르볼릭 표면의 종수 $g$ 가 $g \to \infty$ 로 갈 때, 가장 짧은 분리 성분을 가진 단순 닫힌 지오데식의 길이의 渐近적 길이는 무엇인가?
• RQ2 일반적인 무작위 표면은 분리 성분의 길이 주위에 너비 $\sim \frac{1}{2}\log g$ 의 반 콜라주를 가지는가?
• RQ3 일반적인 표면에서 가장 짧은 분리 성분을 가진 닫힌 다중 지오데식은 위상적으로 분리 성분, 즉 하나의 구멍이 있는 토러스를 잘라내는가?
• RQ4 무작위 표면에서 가장 짧은 분리 성분을 가진 닫힌 다중 지오데식의 기대 길이의 渐近적 행동은 무엇인가? $g \to \infty$ 일 때.
• RQ5 고정된 $m$ 에 대해 $\mathcal{M}_g$ 에서의 $m$-번째 기하학적 헤이거 상수는 $g \to \infty$ 일 때 어떻게 渐近적으로 행동하는가?

주요 결과

• 일 때 $g \to \infty$, 일반적인 표면 $X \in \mathcal{M}_g$ 의 분리 성분의 길이 $\ell_{\rm sys}^{\rm sep}(X)$ 는 확률이 1로 수렴하는 동안 $|\ell_{\rm sys}^{\rm sep}(X) - (2\log g - 4\log\log g)| \leq \omega(g)$ 를 만족한다. 여기서 $\omega(g) \to \infty$ 이고 $\omega(g)/\log\log g \to 0$ 이다.
• 높은 확률로, 분리 성분은 하나의 구멍이 있는 토러스 $S_{1,1}$ 을 잘라내며, 일반적인 표면에서의 위상적 유형을 확인한다.
• 일반적인 표면는 $S_{g-1,1}$ 성분 내에서 분리 성분의 길이 주위에 너비 $\frac{1}{2}\log g - \left(\frac{3}{2} + \epsilon\right)\log\log g$ 의 반 콜라주를 가진다.
• 가장 짧은 분리 성분을 가진 닫힌 다중 지오데식 $\mathcal{L}_1(X)$ 의 길이는 $g \to \infty$ 일 때 확률이 1로 수렴하는 동안 $|\mathcal{L}_1(X) - (2\log g - 4\log\log g)| \leq \omega(g)$ 를 만족한다.
• 기대 길이 $\mathbb{E}_{\rm WP}^g[\mathcal{L}_1]$ 은 $2\log g$ 와 渐近적으로 유사하게 행동하며, [PWX21]에서의 추측을 확인한다.
• 첫 번째 기하학적 헤이거 상수 $H_1(X)$ 는 $g \to \infty$ 일 때 확률이 1로 수렴하는 동안 $\left(1 - \epsilon\right)\frac{\log g}{\pi} < H_1(X) < \frac{\log g}{\pi}$ 를 만족한다.