[논문 리뷰] Large girth graphs with bounded diameter-by-girth ratio

Goulnara Arzhantseva, Arindam Biswas|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 25.

Finite Group Theory Research참고 문헌 32인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 자유 부분군과 소수 모듈로에서의 축소를 이용하여, 임의로 큰 둘레를 가지며 직경 대 둘레 비율이 유계인 4-정규 유한 그래프의 명시적 가족을 구성한다. $SL_n(\mathbb{Z})$의 부분군을 사용하고, 그들의 소수 모듈로 축소를 통해 $SL_n(\mathbb{F}_p)$의 카일리 그래프를 생성하며, 이 그래프의 둘레는 $\geq c_n\log p$이고 직경은 $O(\log p)$이다. 이는 모든 차원 $n \geq 2$에서 최초로 이러한 유계 직경 대 둘레 비율을 가지는 명시적 확산 그래프를 제공한다.

ABSTRACT

We provide an explicit construction of finite 4-regular graphs $(\Gamma_k)_{k\in \mathbb N}$ with ${ ext{girth}\, \Gamma_k o\infty}$ as $k o\infty$ and $\frac{ ext{diam}\, \Gamma_k}{ ext{girth}\,\Gamma_k}\leqslant D$ for some $D>0$ and all $k\in\mathbb{N}$. For each dimension $n\geqslant 2,$ we find a pair of matrices in $SL_{n}(\mathbb{Z})$ such that (i) they generate a free subgroup, (ii)~their reductions $\bmod\, p$ generate $SL_{n}(\mathbb{F}_{p})$ for all sufficiently large primes $p$, (iii) the corresponding Cayley graphs of $SL_{n}(\mathbb{F}_{p})$ have girth at least $c_n\log p$ for some $c_n>0$. Relying on growth results (with no use of expansion properties of the involved graphs), we observe that the diameter of those Cayley graphs is at most $O(\log p)$. This gives infinite sequences of finite $4$-regular Cayley graphs as in the title. These are the first explicit examples in all dimensions $n\geqslant 2$ (all prior examples were in $n=2$). Moreover, they happen to be expanders. Together with Margulis' and Lubotzky-Phillips-Sarnak's classical constructions, these new graphs are the only known explicit large girth Cayley graph expanders with bounded diameter-by-girth ratio.

연구 동기 및 목표

• 임의로 큰 둔지와 유계 직경 대 둘레 비율을 가지는 4-정규 유한 그래프의 명시적 가족을 구성하기.
• 기존의 큰 둘레를 가지는 카일리 그래프 확산 그래프의 구성 방법을 차원 $n=2$를 넘어서 모든 $n \geq 2$로 확장하기.
• 확산 성질에 의존하지 않고 성장 성질에 기반한 방법을 제공하여, 직경 대 둘레 비율이 일정하게 유지됨을 보장하기.

제안 방법

• 모든 $n \geq 2$에 대해 자유 부분군을 생성하는 $SL_n(\mathbb{Z})$ 내의 행렬 쌍을 구성하기.
• 모든 충분히 큰 소수 $p$에 대해 이 행렬들의 모듈로 $p$ 축소가 $SL_n(\mathbb{F}_p)$를 생성하도록 보장하기.
• 군의 성장 성질을 이용하여 결과 카일리 그래프의 직경을 $O(\log p)$로 유계화하기.
• 모든 $p$에 대해 독립적으로 $c_n > 0$인 상수 $c_n$에 대해 카일리 그래프의 둔지에 대해 하한 $c_n\log p$를 확립하기.
• 이 두 유계를 조합하여, 모든 $k$에 대해 $\frac{\text{diam}\, \Gamma_k}{\text{girth}\, \Gamma_k}$ 비율이 일정한 상수로 유계임을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 차원 $n \geq 2$에서 유계 직경 대 둘레 비율을 가지는 명시적 4-정규 카일리 그래프 확산 그래프를 구성할 수 있는가?
• RQ2 모든 큰 소수 $p$에 대해 $SL_n(\mathbb{F}_p)$를 생성하는 $SL_n(\mathbb{Z})$의 자유 부분군이 존재하는가?
• RQ3 확산 성질을 가정하지 않고 성장 추론을 통해 $SL_n(\mathbb{F}_p)$의 카일리 그래프 직경을 $O(\log p)$로 유계화할 수 있는가?
• RQ4 유계 직경 대 둘레 비율을 유지하면서도 이러한 카일리 그래프에서 둔지 $\geq c_n\log p$를 달성할 수 있는가?
• RQ5 고전적인 $n=2$ 케이스를 초월하여, 유계 직경 대 둘레 비율을 가지는 큰 둔지 확산 그래프의 명시적 구성은 가능한가?

주요 결과

• 구성된 그래프 $\Gamma_k$는 4-정규이며, $k \to \infty$일 때 둔지가 무한히 커지며 $\text{girth}\, \Gamma_k \to \infty$를 만족한다.
• $\Gamma_k$의 직경 대 둔지 비율은 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 일정한 상수 $D > 0$로 유계이며, 이는 성장 효율성이 유계임을 보장한다.
• 모든 $n \geq 2$에 대해, 모든 큰 소수 $p$에 대해 모듈로 $p$ 축소가 $SL_n(\mathbb{F}_p)$를 생성하는 $SL_n(\mathbb{Z})$ 내의 행렬 쌍이 존재한다.
• 이 행렬들을 기반으로 한 $SL_n(\mathbb{F}_p)$의 카일리 그래프는 $c_n > 0$인 상수 $c_n$에 대해 $p$에 독립적으로 최소 $c_n\log p$의 둔지를 가진다.
• 이 카일리 그래프의 직경은 $O(\log p)$ 이하이며, 확산 성질을 가정하지 않고 군의 성장 성질로부터 유도된다.
• 이 그래프들은 모든 차원 $n \geq 2$에서 최초로 유계 직경 대 둔지 비율을 가지며 큰 둔지를 가지는 카일리 그래프 확산 그래프의 명시적 예시이며, 확산 그래프이기도 하다.