[논문 리뷰] Large Minors in Expanders

Julia Chuzhoy, Rachit Nimavat|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 27.

Migration, Refugees, and Integration참고 문헌 33인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유계 차수의 확산 그래프에 통합될 수 있는 마이너의 크기에 대한 날것의 경계를 설정한다. 각각 최대 차수 d인 n-정점 α-확산 그래프는 최대 Ω(n/(c log n) · (α/d)^c)개의 간선과 정점을 가진 모든 그래프를 마이너로 포함한다. 저자들은 높은 확률로 그러한 마이너를 효율적으로 찾는 랜덤 알고리즘을 제시하며, 이는 이전 작업에 비해 n에 대한 최적의 의존성과 α 및 d에 대한 향상된 의존성을 달성한다.

ABSTRACT

In this paper we study expander graphs and their minors. Specifically, we attempt to answer the following question: what is the largest function $f(n,α,d)$, such that every $n$-vertex $α$-expander with maximum vertex degree at most $d$ contains {\bf every} graph $H$ with at most $f(n,α,d)$ edges and vertices as a minor? Our main result is that there is some universal constant $c$, such that $f(n,α,d)\geq \frac{n}{c\log n}\cdot \left(\fracα{d} ight )^c$. This bound achieves a tight dependence on $n$: it is well known that there are bounded-degree $n$-vertex expanders, that do not contain any grid with $Ω(n/\log n)$ vertices and edges as a minor. The best previous result showed that $f(n,α,d) \geq Ω(n/\log^κn)$, where $κ$ depends on both $α$ and $d$. Additionally, we provide a randomized algorithm, that, given an $n$-vertex $α$-expander with maximum vertex degree at most $d$, and another graph $H$ containing at most $\frac{n}{c\log n}\cdot \left(\fracα{d} ight )^c$ vertices and edges, with high probability finds a model of $H$ in $G$, in time poly$(n)\cdot (d/α)^{O\left( \log(d/α) ight)}$. We note that similar but stronger results were independently obtained by Krivelevich and Nenadov: they show that $f(n,α,d)=Ω\left(\frac{nα^2}{d^2\log n} ight)$, and provide an efficient algorithm, that, given an $n$-vertex $α$-expander of maximum vertex degree at most $d$, and a graph $H$ with $O\left( \frac{nα^2}{d^2\log n} ight)$ vertices and edges, finds a model of $H$ in $G$. Finally, we observe that expanders are the `most minor-rich' family of graphs in the following sense: for every $n$-vertex and $m$-edge graph $G$, there exists a graph $H$ with $O \left( \frac{n+m}{\log n} ight)$ vertices and edges, such that $H$ is not a minor of $G$.

연구 동기 및 목표

• 모든 n-정점 α-확산 그래프 중 최대 차수 d를 가진 그래프가 최대 f(n, α, d)개의 간선과 정점을 가진 모든 그래프를 마이너로 포함할 수 있는 가장 큰 함수 f(n, α, d)를 결정하는 것.
• 이전에 알려진 최고의 경계 f(n, α, d) = Ω(n / log^κ n)을 개선하여, n에 대한 날것의 의존성을 확보하고, 격자 마이너의 저하 경계와 일치시킴으로써 최적화된 결과를 도출하는 것.
• poly(n) · (d/α)^O(log(d/α)) 시간 내에, 높은 확률로 이러한 마이너 그래프의 모델을 확산 그래프 내에서 찾을 수 있는 효율적인 랜덤 알고리즘을 설계하는 것.
• d와 α에 대해 더 나은 의존성을 보이되, 약간 더 약한 n-의존성을 지닌 더 단순한 두 번째 알고리즘을 제공하여, 크기가 O(α³n / (c′d⁵ log²n))인 그래프에 대해 적용 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 확산 그래프 GΣ의 구조적 부분 분해에서 정점 집합 A₁과 B₃를 구성함으로써 확산 그래프의 잘 연결된 성질을 활용한다.
• 정리 G.1을 사용하여 αw/d개의 노드-불연속 경로 집합을 각각 Ω(d/α)개의 경로를 포함하는 연결된 하위그래프로 분할함으로써 강력한 연결성을 확보한다.
• 각 하위그래프에서 대표 경로를 구성하여 잘 연결된 집합 A₁과 B₃를 정의하고, 이들의 합집합이 전체 그래프에서 잘 연결되어 있음을 보장한다.
• 흐름 기반의 추론을 적용하여 잘 연결성을 증명한다: F = F₁ + F₂ + F₃ 형태의 흐름 F를 구성하며, F₁과 F₃는 하위그래프 내에서 흐름을 유도하고, F₂는 중간층 S₂를 통해 α-확산 성질을 이용해 흐름을 유도한다.
• 자르기-희소화 알고리즘을 반복적으로 적용하여 자르기의 연결 성분 수를 줄이되, 희소도를 유지하거나 향상시키며, A₁ ∪ B₃의 잘 연결성을 증명한다.
• 두 가지 랜덤 알고리즘을 설계한다: 주 경계에 대한 알고리즘은 poly(n) · (d/α)^O(log(d/α)) 시간 내에 작동하며, 두 번째 단순한 알고리즘은 poly(n, d/α) 시간 내에 작동하여 더 강한 α/d 의존성을 확보하지만, 약간 더 약한 n-의존성을 지닌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 n-정점 α-확산 그래프 중 최대 차수 d를 가진 그래프가 최대 f(n, α, d)개의 간선과 정점을 가진 모든 그래프를 마이너로 포함할 수 있는 가장 큰 함수 f(n, α, d)는 무엇인가?
• RQ2 마이너 크기 경계에서 n에 대한 의존성을 날것으로 만들 수 있는가? 이는 유계 차수의 확산 그래프에서 격자 마이너의 저하 경계와 일치시켜야 한다.
• RQ3 n과 d, α의 함수로서 다항 시간 내에 이러한 마이너 모델을 찾을 수 있는 효율적인 랜덤 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ4 Krivelevich와 Nenadov가 별도로 도출한 결과 f(n, α, d) = Ω(nα² / (d² log n))과 비교할 때, 새로운 경계는 어떻게 되는가?
• RQ5 확산 그래프가 '가장 마이너가 많은' 그래프 가족을 얼마나 잘 대표하는가? 즉, 어떤 n-정점, m-간선 그래프 G에 대해서도, O((n+m)/log n)개 이하의 정점과 간선을 가진 그래프 H가 G의 마이너가 될 수 없는가?

주요 결과

• 논문은 f(n, α, d) ≥ n / (c log n) · (α/d)^c 를 확보하며, 이는 n에 대한 날것의 의존성을 달성하고, 격자 마이너 저하 경계와 일치함을 보여준다. 이는 전 세계적으로 알려진 하한과 일치한다.
• 주 알고리즘은 poly(n) · (d/α)^O(log(d/α)) 시간 내에 작동하며, n-정점 α-확산 그래프 중 최대 차수 d를 가진 그래프에서 최대 n / (c log n) · (α/d)^c개의 정점과 간선을 가진 모든 그래프 H의 모델을 높은 확률로 찾는다.
• 두 번째 단순한 알고리즘은 poly(n, d/α) 시간 내에 작동하며, H가 최대 α³n / (c′d⁵ log²n)개의 정점과 간선을 가질 경우 높은 확률로 성공한다. 여기서 c′은 절대 상수이다.
• 결과는 유계 차수의 확산 그래프에서 가장 큰 클리크 마이너의 크기에 대해 Ω((α/d)^c′ √(n / log n))의 하한을 유도한다. 이는 이전 연구에서의 Ω(α√n / d)보다는 약하지만, 격자 마이너 결과와 동일한 n-의존성을 유지한다.
• 저자들은 확산 그래프가 본질적으로 가장 마이너가 많은 그래프 가족임을 보여준다: 임의의 n-정점, m-간선 그래프 G에 대해, O((n+m)/log n)개 이하의 정점과 간선을 가진 그래프 H가 G의 마이너가 될 수 없는 것이 보장된다.
• 이 연구는 모든 n-정점 유계 차수 확산 그래프가 크기가 O(n / log n)인 모든 그래프를 마이너로 포함함을 확인하며, Excluded Grid Theorem와 관련된 핵심 질문에 대해 긍정적인 답변을 제시한다. 이는 트리너비 t(g)에 대한 g² log g 경계의 날것임을 확인한다.