[논문 리뷰] Large random matrix approach for testing independence of a large number of Gaussian time series

Philippe Loubaton, Alexis Rosuel|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 17.

Random Matrices and Applications참고 문헌 34인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고차원 가우시안 시간열에서 주파수로 스무스 처리된 히스토그램 추정기의 선형 스펙트럼 통계량(LSS)을 분석하기 위해 대규모 랜덤 행렬 이론 프레임워크를 개발한다. 표본 크기 N→∞ 및 차원 M, 스무스 처리 범위 B가 비례적으로 증가하는 점점 커지는 점근적 영역에서 M/N→0이 되도록 하면, 추정된 스펙트럼 공상관계 행렬의 경험적 고유값 분포는 마르체노-파스트르 법칙으로 수렴하며, 이로 인해 LSS에 대해 정확한 결정론적 근사가 가능해지며 오차 한계는 O(1/M + √M/N + (M/N)^3)의 순서가 된다.

ABSTRACT

The asymptotic behaviour of Linear Spectral Statistics (LSS) of the smoothed periodogram estimator of the spectral coherency matrix of a complex Gaussian high-dimensional time series $(\y_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ with independent components is studied under the asymptotic regime where the sample size $N$ converges towards $+\infty$ while the dimension $M$ of $\y$ and the smoothing span of the estimator grow to infinity at the same rate in such a way that $\frac{M}{N} ightarrow 0$. It is established that, at each frequency, the estimated spectral coherency matrix is close from the sample covariance matrix of an independent identically $\mathcal{N}_{\mathbb{C}}(0,\I_M)$ distributed sequence, and that its empirical eigenvalue distribution converges towards the Marcenko-Pastur distribution. This allows to conclude that each LSS has a deterministic behaviour that can be evaluated explicitly. Using concentration inequalities, it is shown that the order of magnitude of the supremum over the frequencies of the deviation of each LSS from its deterministic approximation is of the order of $\frac{1}{M} + \frac{\sqrt{M}}{N}+ (\frac{M}{N})^{3}$ where $N$ is the sample size. Numerical simulations supports our results.

연구 동기 및 목표

• 고차원 가우시안 시간열에서 스펙트럼 공상관계 행렬의 주파수 스무스 처리된 히스토그램 추정기의 선형 스펙트럼 통계량(LSS)의 점점 커지는 행동을 연구한다.
• 고차원 점점 커지는 점근적 조건(N→∞, M,N→∞이며 M/N→0) 하에서 추정된 공상관계 행렬이 i.i.d. 복소 가우시안 벡터의 표본 공분산 행렬과 유사하게 행동함을 확립한다.
• 각 주파수에서 추정된 공상관계 행렬 고유값의 LSS에 대해 결정론적 근사를 유도한다.
• 집중 부등식을 사용하여 LSS가 결정론적 극한으로부터의 이격을 정량화한다.
• 스펙트럼 성질을 기반으로 고차원 시간열 성분 간 상호 독립성에 대한 통계적 검정 개발을 지원한다.

제안 방법

• 주파수 스무스 처리된 히스토그램 추정기를 사용하여 스펙트럼 공상관계 행렬의 일致한 추정을 구성한다. 정의는 $\hat{\mathbf{C}}(\nu) = \mathrm{diag}(\hat{\mathbf{S}}(\nu))^{-1/2} \hat{\mathbf{S}}(\nu) \mathrm{diag}(\hat{\mathbf{S}}(\nu))^{-1/2}$이다.
• 대규모 랜덤 행렬 이론, 특히 마르체노-파스트르 법칙을 적용하여 $\hat{\mathbf{C}}(\nu)$의 경험적 고유값 분포가 매개변수 $c = \lim M/N$를 가진 마르체노-파스트르 분포로 수렴함을 보인다.
• 스토크است릭 지배성과 집중 부등식을 사용하여 LSS가 결정론적 극한으로부터의 이격을 유계로 만들며, 주파수 $\nu \in [0,1]$에 대한 최대 이격은 $u_N = \frac{1}{B} + \frac{\sqrt{B}}{N} + \left(\frac{B}{N}\right)^3$로 제어된다.
• 추정된 공상관계 행렬 $\hat{\mathbf{C}}(\nu)$의 확률적 표현을, 기준 위샤르트 유형 행렬과 교란 항으로 분해하여 도출한다.
• 헬러-시올스트람 공식과 리졸베이트 기법을 사용하여 랜덤 행렬의 함수의 트레이스를 분석한다.
• 한슨-드라이트 부등식과 적분-by-부분 적분 공식을 사용하여 가우시안 벡터에서 이차 형식의 모멘트와 누적량을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주파수 스무스 처리된 추정된 스펙트럼 공상관계 행렬의 경험적 고유값 분포는 고차원 점점 커지는 점근적 영역에서 어떻게 행동하는가?
• RQ2 고차원 점점 커지는 점근적 조건 하에서 추정된 공상관계 행렬의 선형 스펙트럼 통계량(LSS)은 결정론적 근사로 근사될 수 있는가?
• RQ3 LSS가 결정론적 극한으로 수렴하는 속도는 무엇이며, 이격은 어떻게 정량화할 수 있는가?
• RQ4 스무스 처리 범위 B와 표본 크기 N이 고차원 시간열에서 스펙트럼 통계량의 정확도에 어떻게 동시에 영향을 미치는가?
• RQ5 이론적 프레임워크는 고차원 가우시안 시간열 성분 간 상호 독립성에 대한 공식적인 검정을 지원할 수 있는가?

주요 결과

• 점점 커지는 점근적 영역에서 $N \to \infty$, $M(N) = \mathcal{O}(N^\alpha)$이며 $\alpha \in (1/2,1)$, $c_N = M/N \to c \in (0,1)$이면, $\hat{\mathbf{C}}(\nu)$의 경험적 고유값 분포는 매개변수 $c$를 가진 마르체노-파스트르 분포로 약하게 수렴한다.
• 선형 스펙트럼 통계량 $\frac{1}{M}\mathrm{Tr}\left(f(\hat{\mathbf{C}}(\nu))\right)$는 마르체노-파스트르 법칙의 스텔리지 변환을 통해 명시적으로 계산할 수 있는 결정론적 극한으로 수렴한다.
• 주파수 $\nu \in [0,1]$에 대한 LSS의 결정론적 근사로부터의 최대 이격은 고확률적으로 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{M} + \frac{\sqrt{M}}{N} + \left(\frac{M}{N}\right)^3\right)$의 순서이다.
• 추정된 공상관계 행렬과 기준 위샤르트 행렬 사이의 교란은 임의의 $k \geq 1$에 대해 $\mathcal{O}\left(\left(\frac{B}{N}\right)^k\right)$의 오차 척도로 확률적으로 지배됨을 보였다.
• 수치 시뮬레이션은 이론적 오차 한계를 확인하고 LSS의 결정론적 근사가 타당함을 검증한다.
• 이 프레임워크를 통해 고차원 시간열 성분 간 상호 무상관성(즉, 독립성)을 스펙트럼 통계량을 기반으로 검정할 수 있는 테스트를 구성할 수 있다.