[논문 리뷰] Large scale geometry of metrisable groups

Christian Rosendal|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 22.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 34인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 분리 가능하고 거리화 가능한 위상군에 대해 국소 콪 pact가 아닐 경우에도 적용 가능한 상대적 성질 (OB)을 도입함으로써, 표준적인 대규모 기하학을 수립한다. 이 성질은 비국소 콩 pact인 설정에서 컴팩트성의 역할을 대체한다. 군이 유일한 쿼어-이소메트리 타입을 가질 조건은 국소적 성질 (OB)을 가짐과 동치이며, 반데르바르그 공간의 다양한 기하학적 유형, 예를 들어 반사적 및 초반사적 공간에 대해 메트릭으로 적절한 아핀 등거리 작용을 가지는지의 조건을 규명한다.

ABSTRACT

We develop a theory of large scale geometry of metrisable topological groups that, in a significant number of cases, allows one to define and identify a unique quasi-isometry type intrinsic to the topological group. Moreover, this quasi-isometry type coincides with the classical notion in the case of compactly generated locally compact groups and, for the additive group of a Banach space, is simply that of the corresponding Banach space. In particular, we characterise the class of separable metrisable groups admitting metrically proper, respectively, maximal compatible left-invariant metrics. Moreover, we develop criteria for when a metrisable group admits metrically proper affine isometric actions on Banach spaces of various degress of convexity and reflexivity. A further study of the large scale geometry of automorphism groups of countable first order model theoretical structures is separated into a companion paper.

연구 동기 및 목표

• 분리 가능하고 거리화 가능한 위상군에 대해 국소 콩 pact이거나 유한 생성이 아닐 경우에도 적용 가능한 표준적인 대규모 기하학을 정의하는 것.
• 위상적 컴팩트성 대신 메트릭 개념인 상대적 성질 (OB)을 도입하여, 쿼어-이소메트리 불변량을 일반화하는 것.
• 이러한 군이 메트릭으로 적절한 왼쪽 이동 불변 거리와 반데르바르그 공간 위의 아핀 등거리 작용을 가지는지의 조건을 규명하는 것.
• 반사적 및 초반사적 반데르바르그 공간 위의 작용을 통해 군의 기하학적 성질과 그 표현 이론 간의 연결 고리를 설정하는 것.
• 가чёт 제1차 논리 구조의 자기동형군을 대규모 기하학을 통해 연구할 수 있는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 거리화 가능한 군의 부분집합에 대해 상대적 성질 (OB)을 도입: 어떤 집합이 모든 왼쪽 이동 불변 거리에서 유한한 지름을 가질 경우, 그 집합은 (OB)를 가진다.
• 메트릭으로 적절한 왼쪽 이동 불변 거리를 정의: 모든 유계 집합이 군에 대해 (OB)를 가진다.
• 분리 가능하고 거리화 가능한 군에서 두 개의 메트릭으로 적절한 거리 간에는 코arser 등가 관계가 성립함을 증명함으로써, 유일한 쿼어-이소메트리 타입이 정의됨을 보임.
• Arens–Eells 공간 구성법을 사용하여, 약한 거의 주기적 함수와 관련된 코사이클로부터 반데르바르그 공간 위의 아핀 등거리 작용을 실현함.
• 부정적 유형의 핵심 이론과 Rademacher 유형 이론을 적용하여 군의 기하학적 성질과 목표 반데르바르그 공간의 기하학적 성질 간의 관계를 규명함.
• 절단 함수를 사용하여 유계 지지 집합을 가지는 직접 합을 통해 힐베르트 공간과 반사적 공간 위의 작용을 명시적으로 구성함으로써, 메트릭으로 적절한 성질을 확보함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분리 가능하고 거리화 가능한 군이 표준적인 메트릭으로 적절한 왼쪽 이동 불변 거리에 의해 유일한 쿼어-이소메트리 타입을 가지는가?
• RQ2 반사적 또는 초반사적 반데르바르그 공간 위에서 메트릭으로 적절한 아핀 등거리 작용을 가지는 군은 어떤 특성을 가지는가?
• RQ3 국소적 성질 (OB)은 초반사적 공간 위에 메트릭으로 적절한 작용이 존재함을 의미하는가? 그 역도 성립하는가?
• RQ4 이 프레임워크를 통해 다양체나 측도 공간의 호메오모르피즘 군의 대규모 기하학이 표준적으로 정의될 수 있는가?
• RQ5 반사적 반데르바르그 공간 위의 아핀 등거리 작용에서 성질 (OB)과 고정점 성질 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 분리 가능하고 거리화 가능한 군이 메트릭으로 적절한 왼쪽 이동 불변 거리를 가질 조건은, 항등원의 어떤 근방이 성질 (OB)를 가짐과 동치이다.
• 그러한 거리에 의해 유도되는 쿼어-이소메트리 타입은 내재적이고 쿼어-이소메트리에 대해 유일하며, 컴팩트 생성 국소 콩 pact 군의 고전적 경우를 일반화한다.
• 반데르바르그 공간의 덧셈군은 반데르바르그 공간 자체와 쿼어-이소메트릭임을 보여주며, 이는 이론이 이 경우 고전적인 대규모 기하학을 복원함을 보여준다.
• U(H), Homeo(S^n), Aut([0,1]^\nn)와 같은 군들은 컴팩트가 아니지만 성질 (OB)를 가짐을 보여주며, 이는 이 이론이 국소 콩 pact 군을 넘어서도 적용 가능함을 보여준다.
• 군이 초반사적 반데르바르그 공간 위에 메트릭으로 적절한 아핀 등거리 작용을 가지는 것은 국소적 성질 (OB)이 있음과 동치이며, 약한 거의 주기적 함수를 사용하여 이러한 작용을 명시적으로 구성할 수 있다.
• L^q는 max\big\brace{2,p\big\brace}<q<\big\brace{\text{infty}}일 때 L^p로의 코arse 임bedding을 갖지 못하므로, L^p 위에 메트릭으로 적절한 작용을 가질 수 없지만, 이는 자체 위에서 이동 작용을 통해 메트릭으로 적절한 작용을 가질 수 있다.