[논문 리뷰] Large time asymptotics for the parabolic Anderson model driven by spatially correlated noise

Jingyu Huang, Khoa Lê외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다차원에서 공간적으로 상관된 소음을 갖는 포물형 앤더슨 모형의 해의 모멘트에 대한 파울리-카츠 공식을 수립한다. 변분 양을 통해 리아푸노프 지수와 지수 성장 지수를 유도하고, 간섭성 성질에서의 계면 전이 행동을 증명하며, 적분 가능성과 가환성 조건을 만족하는 일반적인 스펙트럼 측도를 갖는 거친 소음, 즉 허스트 매개수 $ H \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}] $를 포함하여 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we study the linear stochastic heat equation, also known as parabolic Anderson model, in multidimension driven by a Gaussian noise which is white in time and it has a correlated spatial covariance. Examples of such covariance include the Riesz kernel in any dimension and the covariance of the fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\in (\frac 14, \frac 12]$ in dimension one. First we establish the existence of a unique mild solution and we derive a Feynman-Kac formula for its moments using a family of independent Brownian bridges and assuming a general integrability condition on the initial data. In the second part of the paper we compute Lyapunov exponents, lower and upper exponential growth indices in terms of a variational quantity. The last part of the paper is devoted to study the phase transition property of the Anderson model.

연구 동기 및 목표

• 공간적으로 상관된 소음을 갖는 확률적 열 방정식의 미약한 해의 존재성과 유일성을 수립하기 위해.
• 독립적인 브라운 다리의 가족을 사용하여 해의 모멘트에 대한 파울리-카츠 공식을 도출하기 위해.
• 변분 양을 통해 리아푸노프 지수와 지수 성장 지수를 특성화하기 위해.
• 간섭성의 맥락에서 리아푸노프 지수의 계면 전이 행동을 분석하기 위해.

제안 방법

• 가정 (H.1)과 (H.2) 하에서 위너 카오스 전개를 사용하여 미약한 해의 존재성과 유일성을 증명하기 위해.
• 스펙트럼 측도에 대한 일반적인 적분 가능성과 가환성 조건 하에서, 독립적인 브라운 다리를 사용하여 모멘트에 대한 파울리-카츠 공식을 유도하기 위해.
• 에너지와 드리프트 항을 포함하는 최소화 문제에 대한 해로서 리아푸노프 지수와 지수 성장 지수를 특성화하기 위해 변분 방법을 적용하기 위해.
• 라플라스 원리와 점근적 분석을 사용하여 로그 모멘트 생성 함수에 대한 하한과 상한을 확립하기 위해.
• 다양한 매개수 영역에서 변분 양의 행동을 분석함으로써 계면 전이를 분석하기 위해.
• 스펙트럼 측도 조건을 통해 결과를 거친 소음, 즉 $ H \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}] $인 분수 차수 브라운 운동까지 확장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간적으로 상관된 소음을 갖는 다차원에서의 포물형 앤더슨 모형에 대해 리아푸노프 지수와 지수 성장 지수는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 소음이 공간적으로 흰색이 아니고 거친 경우, 모멘트에 대한 파울리-카츠 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ3 스펙트럼 측도의 가환성과 적분 가능성은 해의 존재성과 모멘트 구조에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 모형은 간섭성 행동에서 계면 전이를 보일 수 있는가, 그리고 만약 그렇다면 어떤 조건에서인가?
• RQ5 해의 장기적 점근적 행동은 소음의 공간적 상관 구조에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 가정 (H.1) 또는 (H.2) 하에서 포물형 앤더슨 모형에 대해 유일한 미약한 해가 존재하며, 이는 시공간 흰색 소음과 분수 차수 브라운 운동의 경우를 일반화한다.
• 스펙트럼 밀도에 대한 일반적인 적분 가능성과 가환성 조건 하에서, 독립적인 브라운 다리의 가족을 사용하여 모멘트에 대한 파울리-카츠 공식이 도출된다.
• 리아푸노프 지수와 지수 성장 지수는 공간 경로에 대한 이차형과 선형 항의 합을 포함하는 변분 문제의 해로서 특성화된다.
• 변분 양의 분석을 통해 간섭성 행동에서의 계면 전이가 확인되며, 이는 해 피크의 주요 공간적 구조가 변화함을 보여준다.
• $ \ell = 1 $일 때, 적절한 스케일링 하에서 큰 시간 한계에서 $ n $-번째 모멘트의 지수 성장률이 $ \frac{n\beta^2}{2} - n\alpha\beta $임을 보여준다.
• 로그 모멘트 생성 함수에 대한 상한과 하한이 동일한 변분 표현으로 수렴함으로써, 지수 성장 지수의 정확한 점근적 행동이 확인된다.