[논문 리뷰] Large time average of reachable sets and Applications to Homogenization of interfaces moving with oscillatory spatio-temporal velocity

Wenjia Jing, Panagiotis E. Souganidis외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 09.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 18인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 기하적 제어 방법을 통해 시공간에 걸쳐 진동하는 가속도를 갖는 해밀턴-자코비 방정식의 균질화를 분석함으로써, 장기 평균을 통한 도달 가능 집합의 성질을 규명한다. 이는 스케일링된 도달 가능 집합이 국소 균일 수렴하여 컴act하고 볼록한 집합 D로 수렴함을 증명함으로써, 시간에 의존하는 진동성 있는 속도를 갖는 전파의 균질화를 임의의 차원에서 가능하게 한다. 이는 사전에 균일한 추정이 없더라도 성립한다.

ABSTRACT

We study the averaging of fronts moving with positive oscillatory normal velocity, which is periodic in space and stationary ergodic in time. The problem can be reformulated as the homogenization of coercive level set Hamilton-Jacobi equations with spatio-temporal oscillations. To overcome the difficulties due to the oscillations in time and the sublinear growth of the Hamiltonian, we first study the long time averaged behavior of the associated reachable sets using geometric arguments. The results are new for higher than one dimensions even in the space-time periodic setting.

연구 동기 및 목표

• 공간-시간 진동성 있는 속도를 갖는 제어 시스템의 장기적 점근적 행동을 분석하기 위해 도달 가능 집합의 행동을 연구한다.
• 시간에 따라 진동하는 선형 성장 해밀턴-자코비 방정식에서 시간에 따른 균일한 추정이 부족한 문제를 해결하기 위해 도달 가능 집합의 장기 평균을 연구한다.
• 고차원에서 공간-시간 진동성을 갖는 수준집합 해밀턴-자코비 방정식의 균질화를 수립한다.
• 기존의 일차원 회전 수 이론을 고차원 공간-시간 주기적 및 정적 에르고딕 설정으로 확장한다.

제안 방법

• 저자들은 기하적 논증을 통해 도달 가능 집합의 장기 평균을 연구하며, t→∞일 때 t⁻¹ℛₜ(x,ω)의 극한에 초점을 맞춘다.
• 해밀턴-자코비 방정식의 해를 제어 시스템의 도달 가능 집합과 연결하기 위해 라크스-올라니크 공식을 사용한다.
• 제어 시스템은 γ′(r) = a(γ(r), r, ω)ξ(r, ω)이며 |ξ| ≤ 1을 만족하며, ℛₜ(x,ω)는 시간 t 이내에 도달 가능한 점들의 집합이다.
• 논문은 스케일링된 도달 가능 집합이 볼록하고 컴팩트한 집합 D로 국소 균일 수렴함을 증명한다. 이 D는 효과적 해밀턴함수를 정의한다.
• 효과적 해밀턴함수를 평균화한 해를 갖는 효과적 방정식의 해로 u^ε이 국소 균일 수렴함을 보여줌으로써 균질화 극한을 도출한다.
• 시간 이동을 적분 이동과 가장 가까운 정수 근사로 제어함으로써, 비강하성 설정으로도 이 방법을 확장할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간-시간 진동성 있는 속도를 갖는 시스템에서 n ≥ 2 차원에서 도달 가능 집합의 장기 점근적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 균일한 추정이 없는 상황에서도 시간에 의존하는 선형 성장 해밀턴함수를 갖는 해밀턴-자코비 방정식의 균질화가 가능할 수 있는가?
• RQ3 도달 가능 집합의 평균은 진동성 매질에서 효과적 전파 속도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 일차원에서의 회전 수 이론 결과가 고차원 공간-시간 주기적 또는 에르고딕 설정으로 얼마나 일반화될 수 있는가?
• RQ5 혼합된 공간-시간 의존성을 갖는 비강하성 방정식으로도 균질화 결과를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• t→∞일 때 도달 가능 집합의 장기 평균 t⁻¹ℛₜ(x,ω)는 거의 확실히 국소 균일하게 컴팩트하고 볼록한 집합 D로 수렴한다.
• 효과적 해밀턴함수는 H̄(p) = sup_{y∈D} p·y로 주어지며, 균질화된 방정식은 u_t + H̄(Du) = 0이다.
• 원래 방정식의 해 u^ε은 ε→0일 때 균질화된 방정식의 해로 국소 균일 수렴한다.
• 결과는 공간-시간 주기적 및 시간에 대해 정적 에르고딕인 속도장 모두에 대해 성립하며, 이는 이전의 일차원 결과를 확장한다.
• 시간 이동에 대해 수렴성이 강건하여, 추가적인 시간 유사 변수를 갖는 비강하성 방정식으로의 확장이 가능하다.
• 이 방법은 특히 선형 성장, 시간 진동성 해밀턴함수에 대해 사전 균일 추정이 없는 경우에 균질화를 위한 새로운 접근법을 제공한다.