[논문 리뷰] Large time behaviour of mild solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations in infinite dimension by a probabilistic approach

Ying Hu, Pierre-Yves Madec외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 공간에서의 미약한 해에 대한 해밀턴-자코비-베르만(HJB) 방정식의 장기적 행동을 확률적 방법을 사용하여 분석한다. 유한한 시간 영역 T에 대한 후행 확률적 미분 방정식(이하 BSDE)의 해가 초기 시점에서 시간 영역 T에 대해 선형으로 증가하며, 관련된 에르고딕 BSDE로부터 유도되는 수정 항이 더해지며, 수렴 속도가 명시적으로 유도된다는 것을 입증한다. 이는 문헌에서 드문 결과이다.

ABSTRACT

We study the large time behaviour of mild solutions of HJB equations in infinite dimension by a purely probabilistic approach. For that purpose, we show that the solution of a BSDE in finite horizon $T$ taken at initial time behaves like a linear term in $T$ shifted with the solution of the associated EBSDE taken at initial time. Moreover we give an explicit speed of convergence, which seems to appear very rarely in literature.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 설정에서 HJB 방정식의 미약한 해의 장기적 점근적 행동을 이해하는 것.
• 이러한 방정식의 장기적 역학을 분석하기 위한 순수한 확률적 접근법을 개발하는 것.
• 해의 점근적 구조를 시간 T에 대한 선형 항과 에르고딕 BSDE로부터 온 수정 항으로 기술하는 것.
• 점근적 근사에 대한 명시적인 수렴 속도를 도출하는 것 — 기존 문헌에서 거의 다루지 않는 특성이다.

제안 방법

• 유한한 시간 영역 T에 대한 후행 확률적 미분 방정식(이하 BSDE)에 초점을 맞춘 확률적 프레임워크를 사용한다.
• 시간 0에서의 유한한 시간 영역 BSDE의 해는 T에 대한 선형 항과 잔여 항으로 분해된다.
• T → ∞일 때 잔여 항이 관련된 에르고딕 BSDE(EBSDE)의 해로 수렴한다는 것이 입증된다.
• 수렴 속도는 확률적 추정과 EBSDE 해의 성질을 사용하여 명시적으로 유도된다.
• 분석은 HJB 방정식과 동적 프로그래밍 원리를 통한 확률적 제어 간의 연결에 기반한다.
• PDE 기반 기법을 피하고, 대신 확률 미적분학과 BSDE 이론에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 영역 T가 무한대에 접근할 때, 유한한 시간 영역 BSDE의 해는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 무한차원 HJB 방정식의 장기적 행동이 확률적 방법을 통해 기술될 수 있는가?
• RQ3 해의 점근적 구조는 T와 에르고딕 성분으로 어떻게 기술되는가?
• RQ4 해가 그 점근적 형태로 수렴하는 명시적인 속도는 무엇인가?

주요 결과

• 초기 시점에서의 유한한 시간 영역 BSDE의 해는 점근적으로 T에 대한 선형 함수에 더하여 수정 항을 가진다.
• 수정 항은 T → ∞일 때 관련된 에르고딕 BSDE(EBSDE)의 해로 수렴한다.
• 명시적인 수렴 속도가 도출되었으며, 이는 기존 문헌에서 흔히 볼 수 없는 새로운 기여이다.
• 확률적 접근법은 PDE의 정규성 가정에 의존하지 않고도 장기적 행동을 직접적이고 구조적으로 분석할 수 있도록 한다.