[논문 리뷰] Largest eigenvalue distribution in the double scaling limit of matrix models: A Coulomb fluid approach

Yang Chen, K J Eriksen외 1명|arXiv (Cornell University)|1995. 02. 20.

Theoretical and Computational Physics인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 쌍중 스케일링 근사에서 헤르미트 행렬 모델의 최대 고유값의 渐近 분포를 쿨롱 체액 근사법을 사용하여 유도한다. 큰 $s$에 대해 $(-s, \infty)$ 내에 고유값이 없을 확률이 $\exp(-s^{2\gamma+2})$로 감소함을 보이며, $\gamma = m - 1/2$는 다중临계점들을 특징짓는다. 전이 영역의 크기가 $N^{(\gamma-1)/(2(\gamma+1))}$임을 확인하였고, 이는 끈 방정정식 결과와 일치한다.

ABSTRACT

Using thermodynamic arguments we find that the probability that there are no eigenvalues in the interval (-s,\infty) in the double scaling limit of Hermitean matrix models is O(exp(-s^{2m+1})) as s o+\infty.Here m=1,2,3.. determine the m^{th} multi-critical point of the level density:σ(x)\sim b[1-(x/b)^2]^{m-1/2} and b^2\sim N.Furthermore,the size of the transition zone where the eigenvalue density becomes vanishingly small at the tail of the spectrum is \sim N^{(m-3/2)/(2m+1)} in agreement with earlier work based on the string equation.

연구 동기 및 목표

• 이중 스케일링 근사에서 헤르미트 행렬 모델의 최대 고유값 분포의 渐近 행동을 결정하는 것.
• 열역학적 및 쿨롱 체액 근사를 적용하여 $s \to \infty$일 때 $(-s, \infty)$ 구간에 고유값이 없을 확률을 계산하는 것.
• 스펙트럼 가장자리에서 고유값 밀도가 사라지는 전이 영역의 스케일링을 유도하는 것.
• 체액 근사 결과를 기존의 끈 방정식 및 파프레베 이론 결과와 연결하는 것.

제안 방법

• 고유값 분포를 연속 전하 밀도 $\sigma(x)$로 근사하기 위해 디슨의 쿨롱 체액 모델을 사용한다.
• 연속 근사를 적용하여 배제된 구간에 대한 자유 에너지 차이 $\Delta F = -\ln E_2(0;J)$를 적분으로 표현한다.
• 변분 원리와 조건 $V(x) - 2\int \ln|x-y|\sigma(y)dy = \text{상수}$를 통해 고유값 밀도 문제를 특이 적분 방정식으로 변환한다.
• 초함수 $_2F_1$ 등을 포함한 알려진 특수 함수를 사용하여 적분 방정식을 풀어 일반적인 다중临계 포텐셜에 대한 $\sigma(x)$를 도출한다.
• 결합 상수를 조절하여 $\sigma(x) \propto b[1 - (x/b)^2]^\gamma$ 형태의 밀도를 얻으며, 이때 $m$-번째 다중临계점에 대해 $\gamma = m - 1/2$이다.
• 모서리 근처 길이 $l$ 구간에서 배제된 고유값 수 $N(l)$을 계산하고, $N(l) \sim s^{\gamma+1}$에서 $\log E_2(s) \sim -s^{2\gamma+2}$를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 스케일링 근사에서 $s \to \infty$일 때 $(-s, \infty)$ 내에 고유값이 없을 확률의 渐近 감소율은 무엇인가?
• RQ2 다중临계점에서 고유값 밀도가 0으로 떨어지는 전이 영역의 크기는 $N$에 대해 어떻게 스케일링되는가?
• RQ3 쿨롱 체액 근사는 알려진 전이 영역 크기 $N^{(\gamma-1)/(2(\gamma+1))}$를 재현할 수 있는가?
• RQ4 고유값 밀도 $\sigma(x) \propto [1 - (x/b)^2]^\gamma$일 때, $\gamma = m - 1/2$인 경우 가장자리 근처에서의 고유값 밀도는 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 큰 $s$에 대해 $(-s, \infty)$ 내에 고유값이 없을 확률은 $\exp(-s^{2\gamma+2})$로 감소하며, 이때 $\gamma = m - 1/2$이다.
• 가장자리 근처 길이 $l$ 구간에서 배제된 고유값 수는 $N(l) \sim s^{\gamma+1}$로 스케일링되며, 여기서 $s = l / N^{(\gamma-1)/(2(\gamma+1))}$이다.
• 밀도가 사라지는 전이 영역의 크기는 약 $N^{(\gamma-1)/(2(\gamma+1))}$이며, 끈 방정식 결과와 일치한다.
• 부드러운 가장자리 고유값 밀도는 $\sigma_N(\sqrt{N}) \sim N^{(1-\gamma)/(2(1+\gamma))}$로 스케일링되며, 비파erturbative 가장자리 행동을 확인한다.
• 유도 과정은 쿨롱 체액 근사가 다중临계 영역에서도 최대 고유값 尾확률의 정확한 渐近 행동을 제공함을 확인한다.