[논문 리뷰] LaSalle Invariance Principle for Discrete-time Dynamical Systems: A Concise and Self-contained Tutorial

Wenjun Mei, Francesco Bullo|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 10.

Distributed Control Multi-Agent Systems참고 문헌 14인용 수 35

한 줄 요약

이 논문은 이산시간 비선형 동적계에 대한 LaSalle 비례 원리에 대한 자가 포함된 강의 자료를 제공하며, LaSalle의 원본 작업에서 유도되는 점근적 안정성을 확립하는 데 필수적인 보조정리들을 엄밀하게 증명한다. 이는 라파노프 함수와 불변 집합을 사용하여 차분 방정식에 대해 원리를 수립하며, 라파노프 함수가 감소하지 않는 가장 큰 불변 집합으로 궤적이 수렴함을 보여주며, 유한 시간 이후 도메인의 경계에서 함수가 정의되지 않더라도 여전히 성립함을 밝힌다.

ABSTRACT

LaSalle invariance principle was originally proposed in the 1950's and has become a fundamental mathematical tool in the area of dynamical systems and control. In both theoretical research and engineering practice, discrete-time dynamical systems have been at least as extensively studied as continuous-time systems. For example, model predictive control is typically studied in discrete-time via Lyapunov methods. However, there is a peculiar absence in the standard literature of standard treatments of Lyapunov functions and LaSalle invariance principle for discrete-time nonlinear systems. Most of the textbooks on nonlinear dynamical systems focus only on continuous-time systems. In Chapter 1 of the book by LaSalle [11], the author establishes the LaSalle invariance principle for difference equation systems. However, all the useful lemmas in [11] are given in the form of exercises with no proof provided. In this document, we provide the proofs of all the lemmas proposed in [11] that are needed to derive the main theorem on the LaSalle invariance principle for discrete-time dynamical systems. We organize all the materials in a self-contained manner. We first introduce some basic concepts and definitions in Section 1, such as dynamical systems, invariant sets, and limit sets. In Section 2 we present and prove some useful lemmas on the properties of invariant sets and limit sets. Finally, we establish the original LaSalle invariance principle for discrete-time dynamical systems and a simple extension in Section~3. In Section 4, we provide some references on extensions of LaSalle invariance principles for further reading. This document is intended for educational and tutorial purposes and contains lemmas that might be useful as a reference for researchers.

연구 동기 및 목표

• 표준 교과서에서 이산시간 비선형 시스템에 대한 LaSalle 비례 원리에 대한 종합적인 다루기가 부족한 점을 보완하기 위해.
• 주요 정리를 유도하기 위해 필요한 LaSalle의 원본 작업(JPL:76)에서의 모든 보조정리에 대한 완전하고 자가 포함된 증명을 제공하기 위해.
• 연구자와 학생들이 접근하기 쉬운 방식으로 이산시간 LaSalle 비례 원리를 엄밀하게 수립하기 위해.
• 라파노프 함수와 시스템 맵이 도메인의 경계에서 정의되지 않지만, 해가 항상 그로부터 유계로 떨어져 있음을 보장하는 경우로 고전 원리를 확장하기 위해.

제안 방법

• 연속 함수 T를 사용한 이산 반동역학계의 형식적 정의와 반복식 x(n+1) = T(x(n))의 사용.
• 경계, 수열 수렴을 이용한 닫힘을 통한 한계 집합, 불변 집합 및 그 위상적 성질의 도입.
• 연속 함수와 유계 궤적 하에서 한계 집합의 컴act성과 불변성에 관한 보조정리 증명.
• 주요 LaSalle 비례 원리 유도: 라파노프 함수 V가 궤적을 따라 감소하지 않으며, 시스템이 유계이면 궤적이 V의 차분이 0인 집합 내에서 가장 큰 불변 집합으로 수렴함.
• T와 V가 집합 G의 경계에서 정의되지 않지만, 유한 시간 이후 해가 컴팩트 부분집합 Gc에 머무르는 경우 원리의 확장.
• 순차적 컴팩트성과 연속성을 활용하여 한계 집합이 비어 있지 않고 컴팩트하며 불변임을 보이며, 수렴 분석을 가능하게 함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 문헌에서 완전한 증명이 부족한 점을 감안할 때, 이산시간 비선형 시스템에 대해 LaSalle 비례 원리를 어떻게 엄밀하게 수립할 수 있는가?
• RQ2 라파노프 함수 감소에 기반하여 이산시간 시스템의 궤적이 불변 집합으로 수렴하기 위한 필수 및 필요 조건은 무엇인가?
• RQ3 라파노프 함수와 역학이 도메인의 경계에서 정의되지 않는 경우에도 고전 LaSalle 원리를 확장할 수 있는가?
• RQ4 이산시간 시스템에서 수렴을 보장하는 한계 집합과 불변 집합의 위상적 성질은 무엇인가?
• RQ5 함수 T와 라파노프 함수 V의 컴팩트성과 연속성은 점근적 안정성을 보장하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 모든 유계 궤적의 한계 집합 Ω(x₀)은 비어 있지 않고 컴팩트하며, 함수 T에 대해 불변이다.
• 라파노프 함수 V가 궤적을 따라 감소하지 않으며, 시스템이 유계이면 궤적이 V(T(x)) - V(x) = 0인 집합 내에서 가장 큰 불변 집합 M으로 수렴한다.
• T와 V가 G의 경계에서 정의되지 않더라도, 해가 유한 시간 N 이후 어떤 컴팩트 집합 Gc에 머무르면 확장된 LaSalle 원리가 성립한다.
• M이 V의 차분이 0인 집합 내에서 가장 큰 불변 집합이면, x(n)이 M ∩ V⁻¹(c)로 수렴함이 보장된다. 여기서 c ∈ ℝ이다.
• 증명은 순차적 컴팩트성과 연속성을 활용하여 궤적의 극한점이 V⁻¹(c)와 불변 집합 M의 교집합에 속함을 보여준다.
• 이 논문은 이산시간 LaSalle 비례 원리에 필요한 모든 보조정리에 대한 완전하고 자가 포함된 증명을 제공함으로써 문헌에서 중요한 격차를 메운다.