[논문 리뷰] Lasserre Hierarchy for Graph Isomorphism and Homomorphism Indistinguishability

David E. Roberson, Tim Seppelt|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 01.

Advanced Graph Theory Research인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 그래프 이sov머피즘을 위한 라서레 상향식 정수계획법 계층의 $t$-번째 수준의 타당성은 특정한 그래프 클래스 $\mathcal{L}_t$ 상에서의 호모모르피즘 구별 불가능성과 동치임을 증명하며, 셔레일리–애덤스 선형계획법 계층의 $3t$-번째 수준이 라서레 계층의 $t$-번째 수준과 동등함을 보이고, 이 bound는 최적임을 증명한다. 또한 비음성 제약 조건이 있는 라서레 계층은 $\mathcal{L}_t^+$ 상에서의 호모모르피즘 구별 불가능성으로 특징지어지며, 임의의 수준에서의 구별 가능성 여부를 다항시간 알고리즘으로 결정할 수 있음을 제시한다.

ABSTRACT

We show that feasibility of the $t^ ext{th}$ level of the Lasserre semidefinite programming hierarchy for graph isomorphism can be expressed as a homomorphism indistinguishability relation. In other words, we define a class $\mathcal{L}_t$ of graphs such that graphs $G$ and $H$ are not distinguished by the $t^ ext{th}$ level of the Lasserre hierarchy if and only if they admit the same number of homomorphisms from any graph in $\mathcal{L}_t$. By analysing the treewidth of graphs in $\mathcal{L}_t$, we prove that the $3t^ ext{th}$ level of Sherali--Adams linear programming hierarchy is as strong as the $t^ ext{th}$ level of Lasserre. Moreover, we show that this is best possible in the sense that $3t$ cannot be lowered to $3t-1$ for any $t$. The same result holds for the Lasserre hierarchy with non-negativity constraints, which we similarly characterise in terms of homomorphism indistinguishability over a family $\mathcal{L}_t^+$ of graphs. Additionally, we give characterisations of level-$t$ Lasserre with non-negativity constraints in terms of logical equivalence and via a graph colouring algorithm akin to the Weisfeiler--Leman algorithm. This provides a polynomial time algorithm for determining if two given graphs are distinguished by the $t^ ext{th}$ level of the Lasserre hierarchy with non-negativity constraints.

연구 동기 및 목표

• 그래프 이sov머피즘에 대한 라서레 계층과 셔레일리–애덤스 계층 간의 정확한 관계, 특히 주어진 라서레 수준을 따라잡기 위해 필요한 셔레일리–애덤스 수준의 최소 수를 밝혀내는 열린 문제를 다룸.
• 명시적으로 정의된 그래프 클래스 $\mathcal{L}_t$ 및 $\mathcal{L}_t^+$ 상에서의 호모모르피즘 구별 불가능성에 의한 라서레 계층의 $t$-번째 수준의 타당성(비음성 제약 조건 유무에 따라)을 특징지음.
• 라서레 계층의 $t$-번째 수준을 따라잡기 위해 셔레일리–애덤스 계층이 필요한 최소 수준이 $3t$임을 증명하며, 이 bound는 최적임을 보임. 즉, $3t-1$ 수준은 충분하지 않음.
• 비음성 제약 조건이 있는 라서레 계층의 $t$-번째 수준에서 두 그래프가 구별되는지 여부를 결정하는 다항시간 알고리즘을 제공함.
• 라서레 계층을 논리적 동치성과, 위스페일러–레만 알고리즘과 유사한 색상 정렬 알고리즘과 연결하며, 이 계층의 모델이론적 및 알고리즘적 특징을 확장함.

제안 방법

• 논문은 두 그래프 $G$와 $H$가 라서레 계층의 $t$-번째 수준에서 구별 불가능할 조건을 정의하며, 이는 $\mathcal{L}_t$에 속한 모든 그래프로부터의 동형사상 수가 동일할 때 성립함을 보임.
• 그리고 $\mathcal{L}_t$에 속한 그래프의 트리너비가 $t-1$ 이하로 유계임을 증명하며, 이는 기존의 트리너비와 셔레일리–애덤스 타당성 간의 관계를 적용할 수 있게 하여 $3t$-수준 등가성에 도달함.
• 비음성 제약 조건이 있는 라서레 계층에 대해서는 관련된 가족 $\mathcal{L}_t^+$를 정의하고, 타당성이 $\mathcal{L}_t^+$ 상에서의 호모모르피즘 구별 불가능성과 동치임을 증명함. 이는 양자 그래프 이론과 선형대수 기법을 활용함.
• 다음으로, $\text{mwl}^{i+1/2}$-색상의 멀티세트를 기반으로 한 색상 정렬 알고리즘을 구성함. 이 알고리즘은 위스페일러–레만 과정을 모방하며, $\mathcal{L}_t^+$ 상에서의 논리적 동치성을 특징짓는 데 사용됨.
• 모델이론적 도구, 특히 $\mathcal{M}_t$-공식과 문장들을 사용하여 호모모르피즘 구별 불가능성과 정점의 $2t$-튜플에 대한 일阶논리 간의 관계를 설정함.
• 병렬 구성에 대한 닫힘 성질에 기반한 보간 추론을 사용하여, $\mathcal{L}_t^+$ 상에서의 호모모르피즘 구별 불가능성 테스트를 색상 정렬 알고리즘의 실행으로 감소시킴.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 셔레일리–애덤스 계층의 $3t$-번째 수준이 그래프 이sov머피즘에 대한 라서레 계층의 $t$-번째 수준의 타당성을 보장하는 데 충분한가?
• RQ2 이 $3t$ bound는 $3t-1$로 개선될 수 있는가, 아니면 모든 $t$에 대해 최적인가?
• RQ3 비음성 제약 조건이 있는 라서레 계층의 $t$-번째 수준에서 두 그래프가 구별되는지 여부를 결정하는 다항시간 알고리즘이 존재하는가?
• RQ4 비음성 제약 조건이 있는 라서레 계층은 $\mathcal{M}_t$-논리에서의 논리적 동치성으로 완전히 특징지어질 수 있는가?
• RQ5 비음성 제약 조건이 없는 라서레 계층의 호모모르피즘 구별 불가능성 특징화를 유사한 색상 또는 게임 기반 특징화로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 그래프 이sov머피즘을 위한 라서레 계층의 $t$-번째 수준의 타당성은, 특정한 나무형 구조들이 병렬 구성에 대해 닫혀 있는 그래프 클래스 $\mathcal{L}_t$ 상에서의 호모모르피즘 구별 불가능성과 정확히 동치임을 증명함.
• 셔레일리–애덤스 계층의 $3t$-번째 수준은 라서레 계층의 $t$-번째 수준과 동등하며, 이 bound는 최적임을 증명함. 즉, 모든 $t$에 대해 $3t-1$-번째 수준의 셔레일리–애덤스 계층으로는 구별 불가능하지만, $t$-번째 수준의 라서레 계층으로는 구별 가능한 그래프 $G$와 $H$가 존재함.
• 비음성 제약 조건이 있는 라서레 계층은 $\mathcal{L}_t^+$ 상에서의 호모모르피즘 구별 불가능성으로 특징지어지며, 이 클래스는 병렬 구성에 대해 닫혀 있고 트리너비가 $t-1$ 이하로 유계임.
• 비음성 제약 조건이 있는 라서레 계층의 $t$-번째 수준에서 두 그래프가 구별되는지 여부를 결정하는 다항시간 알고리즘이 존재함. 이 알고리즘은 $2t$-튜플 기반의 색상 정렬 과정에 기반함.
• $\mathcal{M}_t$-논리에서의 논리적 동치성은 정확히 $\mathcal{L}_t^+$ 상에서의 호모모르피즘 구별 불가능성과 일치하며, 이 동치성은 $\text{mwl}^{\infty}$ 색상 정렬 정렬 과정 동안 유지됨.
• 다음과 같은 열린 질문이 남아 있음: $t-1$-번째 수준의 라서레 계층이 $t$-번째 수준의 셔레일리–애덤스 계층으로 따라잡힐 수 있는가? 현재 결과는 $3t-1$이 라서레 계층에 충분한지 여부를 밝히지 못함.