[논문 리뷰] Lattice and PT symmetries in tensor-network renormalization group: a case study of a hard-square lattice gas model

Xinliang Lyu|arXiv (Cornell University)|2026. 03. 26.

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한 줄 요약

논문은 격자 대칭(회전 및 반사)과 PT 대칭을 2D에서 명시적으로 포함하는 텐서-네트워크 재정규화 그룹(TNRG) 스킴을 개발하고, 1NN 하드-스퀘어 격자 기체에 대해 두 연속 상전이와 그 대칭 깨짐을 연구하는 것을 시연한다.

ABSTRACT

The tensor-network renormalization group (TNRG) is an accurate numerical real-space renormalization group method for studying phase transitions in both quantum and classical systems. Continuous phase transitions, as an important class of phase transitions, are usually accompanied by spontaneous breaking of various symmetries. However, the understanding of symmetries in the TNRG is well-established mainly for global on-site symmetries like U(1) and SU(2). In this paper, we demonstrate how to incorporate lattice symmetries (including reflection and rotation) and the PT symmetry in the TNRG in two dimensions (2D) through a case study of the hard-square lattice gas with nearest-neighbor exclusion. This model is chosen because it is well-understood and has two continuous phase transitions whose spontaneously-broken symmetries are lattice and PT symmetries. Specifically, we write down proper definitions of these symmetries in a coarse-grained tensor network and propose a TNRG scheme that incorporates these symmetries. We demonstrate the validity of the proposed method by estimating the critical parameters and the scaling dimensions of the two phase transitions of the model. The technical development in this paper has made the 2D TNRG a more well-rounded numerical method.

연구 동기 및 목표

• TNRG에서 전역 온사이트 대칭을 넘어서 격자 대칭과 PT 대칭의 포함 필요성을 제시한다.
• 격자 반사, 격자 회전 및 PT 대칭을 보존하는 농축된 텐서-네트워크 프레임워크를 개발한다.
• EF-강화 TNRG를 사용하여 자발적 대칭 깨짐 고정점 근방에서 RG 흐름의 안정성을 향상시킨다.
• 1NN 하드-스퀘어 모델의 두 상전이에 대한 임계 매개변수와 임계 차원을 추정한다.

제안 방법

• z의 부호를 인코딩하는 비실수 결합 행렬을 갖는 1NN 하드-스퀴어 분배 함수의 텐서-네트워크 표현을 구성한다.
• 농축된 텐서 네트워크에서 격자 반사, 격자 회전 및 PT 대칭을 (A, B, σ 분해)로 정의한다.
• SVD 기반 분할 동안 이러한 대칭을 보존하고 부과하는 EF-강화 TRG/루프-TNR 기법을 제안한다.
• 실수값 텐서를 허용하고 TRG 하에서 PT 대칭을 엄격하게 보존하기 위해 결합 매트릭스 σ0를 A에 흡수한다.
• 루프 최적화를 사용하여 대칭-감각적 거친-농축 맵을 구현하고 고정점에서 임계 데이터를 추출한다.
• 대칭-깨짐 근처에서 TRG와 HOTRG를 비교하여 대칭-감각적 TNRG의 안정성 이점을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2D TNRG 프레임워크에서 격자 대칭(회전 및 반사)을 어떻게 정의하고 보존할 수 있는가?
• RQ2 음의 활성도(z?)를 가진 모델의 실수형 텐서-네트워크 표현에서 PT 대칭이 어떻게 나타나고 RG 흐름에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 EF-강화 루프-TNR이 격자 및 PT 대칭을 보존하여 고정점을 안정화하고 임계 매개변수 추정 개선할 수 있는가?
• RQ4 1NN 하드-스퀘어 격자 기체의 두 상전이의 임계 매개변수와 스케일링 차원은 무엇이며, 이들이 격자-대칭 깨짐에 대한 상전이(Ising) 및 Yang-Lee edge 유니버설성과 어떻게 반영되는가?

주요 결과

• 격자 대칭과 PT 대칭을 TNRG에 포함시키면 대칭-깨진 고정점 근처 RG 흐름의 안정성이 향상된다.
• 실수값 텐서 네트워크(σ0를 A에 흡수)는 PT 대칭을 엄격히 보존하여 TRG 하에서 PT-대칭(음수 z) 전이의 고정점을 안정화한다.
• 양의 z 전이는 격자 대칭의 자발적 깨짐을 나타내고, 음의 z 전이는 PT-대칭 깨짐(Yang-Lee edge 맥락)에 대응한다.
• EF와 루프 최적화를 갖춘 접근은 임계 고정점 근처의 정확도와 차단 제어를 향상시켜 두 전이의 임계 매개변수와 스케일링 차원의 신뢰할 수 있는 추정을 가능하게 한다.
• 1NN 하드-스퀴어 모델의 두 전이는 알려진 유니버설 클래스에 속한다(Ising은 격자-대칭 깨짐 전이, Yang-Lee edge는 PT-대칭/반발 코어 전이).