[논문 리뷰] Lattice p-Form Electromagnetism and Chain Field Theory

Derek K. Wise|ArXiv.org|2005. 10. 08.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 아벨 군의 체인 복합체를 사용하여 p-형식 전기역학의 이산적 공식을 제안하며, 정규 격자 외의 임의의 이산 시공간으로 게이지 이론을 일반화할 수 있게 한다. 주요 기여는 '체인 장 이론'의 개발로, 이는 위상적 양자장 이론의 이산적 유사체이며, 시공간의 수평 평면 간 시간 진화를 지원하고, 히오드 이론과 코homological 구조에 의해 수렴이 보장되는 유클리드 경로 적분을 통한 양자화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Since Wilson's work on lattice gauge theory in the 1970s, discrete versions of field theories have played a vital role in fundamental physics. But there is recent interest in certain higher dimensional analogues of gauge theory, such as p-form electromagnetism, including the Kalb-Ramond field in string theory, and its nonabelian generalizations. It is desirable to discretize such `higher gauge theories' in a way analogous to lattice gauge theory, but with the fundamental geometric structures in the discretization boosted in dimension. As a step toward studying discrete versions of more general higher gauge theories, we consider the case of p-form electromagnetism. We show that discrete p-form electromagnetism admits a simple algebraic description in terms of chain complexes of abelian groups. Moreover, the model allows discrete spacetimes with quite general geometry, in contrast to the regular cubical lattices usually associated with lattice gauge theory. After constructing a suitable model of discrete spacetime for p-form electromagnetism, we quantize the theory using the Euclidean path integral formalism. The main result is a description of p-form electromagnetism as a `chain field theory' -- a theory analogous to topological quantum field theory, but with chain complexes replacing manifolds. This, in particular, gives a notion of time evolution from one `spacelike slice' of discrete spacetime to another.

연구 동기 및 목표

• 정규 입방 격자 외의 구조로 일반화된 격자 게이지 이론을 넘어서, p-형식 전기역학의 이산적이고 게이지 불변인 공식을 개발하기 위해.
• 임의의 기하학적 구조를 지원할 수 있는 n-복합체를 사용한 이산 시공간 모델을 구축하기 위해.
• 이산 시공간에서 유클리드 경로 적분 체계를 사용하여 p-형식 전기역학의 양자화 절차를 제공하기 위해.
• 다양한 다양체 대신 체인 복합체를 사용하는 방식으로 위상적 양자장 이론을 일반화하는 '체인 장 이론'의 프레임워크를 수립하기 위해.
• 히오드 이론과 코homological 기준을 사용하여 p+1 차원에서 경로 적분의 이산화 독립성과 수렴성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 이산 시공간을 n-복합체로 모델링하며, p-세포는 p차원 기하 요소를 나타내며, 격자의 개념을 일반화한다.
• p-형식 장을 코스체인 복합체의 코스체인으로 표현하며, 외부 도함수 d는 체인 군 간의 경계 연산자로 표현된다.
• 연속체 맥스웰 작용의 이산적 유사체인, 코스체인 위에 정의된 이차형식을 사용하여 이산 p-형식 전기역학의 작용을 정의한다.
• 토러스 위에서 가우시안 경로 적분 체계를 적용하여 기대값을 계산하며, 대칭 정부정행렬 및 그 역행렬의 구조를 활용한다.
• 히오드 정리와 코homological 분해를 사용하여 경로 적분의 수렴성 분석과 위상 불변성 보장을 한다.
• 작용 원리로부터 이산 p-형식 맥스웰 방정식을 유도하며, 연속체 근사와의 일致성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p-형식 전기역학은 어떻게 게이지 불변성을 유지하면서도 일반적인 시공간 기하학을 허용하는 방식으로 이산화할 수 있는가?
• RQ2 정규 격자에서의 대칭성 붕괴를 피하면서도 미분형 유사성과 유사한 불변성을 갖는 이산 시공간 모델을 구축할 수 있는가?
• RQ3 p-형식 장에 대한 위상적 양자장 이론의 적절한 이산적 유사체는 무엇인가?
• RQ4 이산 p-형식 전기역학에서 유클리드 경로 적분은 어떻게 정의되며, 수렴성이 입증될 수 있는가?
• RQ5 코homology는 양자 이론에서 이산화 독립성과 위상 불변성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 아벨 군의 체인 복합체를 사용하여 이산 p-형식 전기역학을 대수적으로 공식화함으로써, 연속체 장 이론의 엄밀한 이산적 유사체를 확립한다.
• 작용에 포함된 이차형식이 정부정이면, U(1) p-형식 전기역학의 경로 적분은 수렴하며, 이는 잘 정의된 양자 진폭을 보장한다.
• 모델은 정규 입방 격자에 국한되지 않는 임의의 이산 시공간을 허용하므로, 더 넓은 범위의 기하 이산화를 지원한다.
• 이론은 p+1 차원에서 이산화 독립성을 보이며, 물리적 관측량이 특정 이산 시공간 구조의 선택에 의존하지 않는다.
• 체인 장 이론의 프레임워크는 한 시공간 평면에서 다른 평면으로의 시간 진화 개념을 제공하며, 이산 장 이론에서의 동역학 개념을 일반화한다.
• p-형식 보함-아하론로프 효과는 이산적 설정에서도 복원되며, 이는 코homological 불변량을 통한 이론의 위상적 성격을 확인한다.