[논문 리뷰] Lattice paths and branched continued fractions: An infinite sequence of generalizations of the Stieltjes--Rogers and Thron--Rogers polynomials, with coefficientwise Hankel-total positivity

Mathias Pétréolle, Alan D. Sokal외 1명|UCL Discovery (University College London)|2018. 07. 09.

Mathematical functions and polynomials인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 정수 $ m \geq 1 $ 에 따라 인덱스가 매겨진 무한한 일반화된 스틸체스–로저스 및 톤–로저스 다항식의 가족을 제안하며, 분기 연분수와 높이에 따라 가중치가 부여된 격자 경로 수세기 방법을 통해 정의된다. 주요 기여는 이러한 모든 다항식 수열에 대해 계수별 헨켈-전체 양성성을 증명하는 것으로, 고전 결과를 다변수 프레임워크로 확장하여 푸스–나라야나 및 올레라안 다항식, 그리고 연속된 하이퍼기하급수 및 기본 하이퍼기하급수의 비율에의 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We define an infinite sequence of generalizations, parametrized by an integer $m \ge 1$, of the Stieltjes--Rogers and Thron--Rogers polynomials; they arise as the power-series expansions of some branched continued fractions, and as the generating polynomials for $m$-Dyck and $m$-Schröder paths with height-dependent weights. We prove that all of these sequences of polynomials are coefficientwise Hankel-totally positive, jointly in all the (infinitely many) indeterminates. We then apply this theory to prove the coefficientwise Hankel-total positivity for combinatorially interesting sequences of polynomials. Enumeration of unlabeled ordered trees and forests gives rise to multivariate Fuss--Narayana polynomials and Fuss--Narayana symmetric functions. Enumeration of increasing (labeled) ordered trees and forests gives rise to multivariate Eulerian polynomials and Eulerian symmetric functions, which include the univariate $m$th-order Eulerian polynomials as specializations. We also find branched continued fractions for ratios of contiguous hypergeometric series ${}_r \! F_s$ for arbitrary $r$ and $s$, which generalize Gauss' continued fraction for ratios of contiguous ${}_2 \! F_1$; and for $s=0$ we prove the coefficientwise Hankel-total positivity. Finally, we extend the branched continued fractions to ratios of contiguous basic hypergeometric series ${}_r \! ϕ_s$.

연구 동기 및 목표

• 고전적 스틸체스–로저스 및 톤–로저스 다항식을 $ m \geq 1 $ 에 따라 인덱스가 매겨진 무한한 수열으로 일반화하여 다변수 조합 구조를 포괄하는 것.
• 이 일반화된 다항식에 대해 모든 변수에 대해 계수별 헨켈-전체 양성성을 확립하여, 고전적 전체 양성성을 분기 연분수 전개로 확장하는 것.
• 높이에 따라 가중치가 부여된 $ m $-다이크 및 $ m $-슈뢰더 경로를 통해 푸스–나라야나 및 올레라안 다항식과 같은 조합 수열을 통합하고 일반화하는 것.
• 연속된 하이퍼기하급수 $ {}_rF_s $ 의 비율에 대해 분기 연분수 전개를 유도하고, 그 계수별 헨켈-전체 양성성을 증명하는 것.
• 생산 행렬과 격자 경로 조합론을 활용하여 다변수 다항식 수열에 대한 전체 양성성의 체계적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• $ m $-스틸체스–로저스 및 $ m $-톤–로저스 다항식을 높이에 따라 가중치가 부여된 $ m $-다이크 및 $ m $-슈뢰더 경로의 생성함수로 정의한다.
• 다항식 수열의 변수에 대응하는 계수를 갖는 분기 연분수를 구성하여 고전적 S- 및 T-분수를 일반화한다.
• 생산 행렬을 사용하여 다항식의 재귀적 구조를 특성화하며, 경로 가중치와 조합 규칙에서 유도된 항목을 사용한다.
• 린스트롬–게셀–비앙노 렘마를 적용하여 교차하지 않는 격자 경로 분해를 통해 전체 양성을 증명한다.
• 행렬 분해와 연속 관계를 활용한 대수적 기법을 적용하여 하이퍼기하급수 비율의 분기 연분수 전개를 도출한다.
• 계수들의 헨켈 행렬의 모든 소행렬식이 다항식 환에서 음이 아닌 것으로 보여주는 방식으로 계수별 헨켈-전체 양성성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 스틸체스–로저스 및 톤–로저스 다항식은 $ m \geq 1 $ 에 따라 체계적으로 무한한 가족으로 일반화될 수 있는가? 이 과정에서 조합적 및 대수적 구조는 유지되는가?
• RQ2 이 일반화된 다항식은 모든 변수에 대해 계수별 헨켈-전체 양성을 보이며, 만약 그렇다면 가중치에 대한 어떤 조건에서 성립하는가?
• RQ3 연속된 하이퍼기하급수 $ {}_rF_s $ 의 비율에 대해 분기 연분수를 구성할 수 있으며, 이러한 전개는 계수별 헨켈-전체 양성성을 갖는가?
• RQ4 다변수 푸스–나라야나 및 올레라안 다항식은 이러한 일반화된 다항식의 특수한 경우로 어떻게 나타나는가?
• RQ5 Apéry 수나 B형 나라야나 다항식과 같은 수열을 정수 계수를 갖는 $ m $-S-분수로 표현하는 데에는 어떤 제약가 있는가?

주요 결과

• $ m $-스틸체스–로저스 및 $ m $-톤–로저스 다항식은 생산 행렬과 린스트롬–게셀–비앙노 렘마를 통해 모든 변수에 대해 계수별 헨켈-전체 양성성을 갖는다.
• 다변수 푸스–나라야나 다항식과 대칭 함수는 주기적 가중치가 부여된 $ m $-다이크 경로의 생성함수로서 나타나며, 계수별 헨켈-전체 양성성을 갖는다.
• 다변수 올레라안 다항식과 대칭 함수, 특히 단변수 $ m $-차 수준의 올레라안 다항식은 레이블이 부여된 $ m $-슈뢰더 경로를 통해 계수별 헨켈-전체 양성성을 보인다.
• 연속된 $ {}_rF_s $ 하이퍼기하급수 비율에 대해 분기 연분수 전개가 구성되었으며, $ s=0 $ 과 일반적인 $ r,s $ 에 대해 계수별 헨켈-전체 양성성이 증명되었다.
• 기본 하이퍼기하급수 $ {}_r\phi_s $ 에 대해서는 연속된 항의 비율에 대해 분기 연분수 전개가 도출되었으며, 이는 $ q $-해석적 설정으로 이론을 확장한다.
• Apéry 수나 B형 나라야나 다항식과 같은 수열을 $ m $-S-분수로 정수 계수로 표현하는 데에는 나눗셈 제약으로 인해 실패하며, 이는 이 방법의 한계를 드러낸다.