[논문 리뷰] Lattices in crystalline representations and Kisin modules associated with iterate extensions

Yoshiyasu Ozeki|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 15.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Cais-Liu의 $f$-반복 확장의 일반화된 설정에서 결정성 $(\varphi,\hat{G})$-모듈의 이론을 수립하며, Kisin의 프레임워크를 확장하여 Kisin 모듈에 추가 구조를 부여함으로써 결정성 표현에서 $G$-안정적 래티스를 분류한다. 주요 결과는 $e(r-1) < n_f(p-1)/p$ 조건 하에서 토션 결정성 표현에 대한 제약 함수자에 대한 전부 충실성 정리이며, 이는 이전의 $f(u) = u^p$ 경우의 결과를 일반화하고 [CL]에서 제기된 추측을 확인한다.

ABSTRACT

Cais and Liu extended the theory of Kisin modules and crystalline representations to allow more general coefficient fields and lifts of Frobenius. Based on their theory, we classify lattices in crystalline representations by Kisin modules with additional structures under a Cais-Liu's setting. Furthermore, we give a geometric interpretation of Kisin modules of height one in terms of Dieudonné crystals of $p$-divisible groups, and show a full faithfulness theorem for a restriction functor on torsion crystalline representations.

연구 동기 및 목표

• Cais와 Liu가 정의한 $f$-반복 확장의 일반화된 설정에서 결정성 표현에 대한 $(\varphi,\hat{G})$-모듈 이론을 확장하는 것.
• Cais-Liu 프레임워크 하에서 Kisin 모듈에 추가 구조를 도입하여 결정성 $\mathbb{Q}_p$-표현에서 $G$-안정적 래티스를 분류하는 것.
• 높이 1의 Kisin 모듈을 $p$-나누어지지 않는 군의 딜로르당 크리스탈을 통해 기하학적으로 해석하는 것.
• 토션 결정성 표현에 대한 제약 함수자에 대한 전부 충실성 정리를 수립하여, 이전의 $f(u) = u^p$ 경우의 결과를 일반화하는 것.
• Cais-Liu의 [CL, Remark 5.2.3 및 Section 6.3]에서 제기된 추측, 즉 $F = \mathbb{Q}_p$ 인 경우 제약 함수자의 충실성에 대한 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• Liu의 $(\varphi,\hat{G})$-모듈 이론을 Cais-Liu의 $f$-반복 확장 $K_{\underline{\pi}}/K$ 설정으로 적응시키며, 여기서 $f(u) \in \mathbb{Z}_p[u]$ 이고 $f(u) \equiv u^p \mod p$ 를 만족한다.
• 높이 $r$의 추가 조건을 갖는 $(\varphi,\hat{G})$-모듈을 도입하고 연구하며, 이러한 모듈과 Hodge-Tate 무게가 $[0,r]$ 에 속하는 결정성 표현에서의 $G$-안정적 래티스 사이의 반동등성(anti-equivalence)을 수립한다.
• 카테고리 $\mathrm{Max}^r_{\mathfrak{S}_\infty}$ 내의 최대 대상 이론을 활용하여 Kisin 모듈의 구조와 관련 갈루아 표현의 구조를 분석한다.
• 디엘로르당 크리스탈 이론을 적용하여 높이 1의 Kisin 모듈을 $p$-나누어지지 않는 군의 딜로르당 크리스탈을 통해 기하학적으로 해석한다.
• 제약 함수자 $\mathrm{Rep}^{r,\mathrm{cris}}_{\mathrm{tor}}(G) \to \mathrm{Rep}_{\mathrm{tor}}(G_{\underline{\pi}})$ 를 활용하고, 조건 $e(r-1) < n_f(p-1)/p$ 하에서 전부 충실성을 증명하며, 순서와 모듈 최대성의 성질을 활용한다.
• 등식 $T|_{G_{\underline{\pi}}} \simeq \hat{T}(\hat{\mathfrak{M}}(\mathfrak{n}))|_{G_{\underline{\pi}}}$ 와 호모지 공간과 忘却 함자에 대한 가환 다이어그램을 이용하여, 호모지 공간의 전단사성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Cais와 Liu의 일반화된 $f$-반복 확장 설정에서 $(\varphi,\hat{G})$-모듈 이론을 결정성 표현으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 다른 $f(u)$ 선택과 호환 가능한 시스템 $\{\pi_n\}$ 에 대응하는 Kisin 모듈 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 제약 함수자 $\mathrm{Rep}^{r,\mathrm{cris}}_{\mathrm{tor}}(G) \to \mathrm{Rep}_{\mathrm{tor}}(G_{\underline{\pi}})$ 가 어떤 조건에서 전부 충실한가?
• RQ4 높이 1의 Kisin 모듈은 어떻게 딜로르당 크리스탈을 통해 기하학적으로 해석할 수 있는가?
• RQ5 더 약한 조건, 특히 $er < p-1$ 일 때에도 전부 충실성 결과가 성립하는가?

주요 결과

• 높이 $r$의 추가 조건을 갖는 $(\varphi,\hat{G})$-모듈의 카테고리와 Hodge-Tate 무게가 $[0,r]$ 에 속하는 결정성 $\mathbb{Q}_p$-표현에서의 $G$-안정적 래티스의 카테고리 사이에 반동등성이 수립된다.
• 조건 $e(r-1) < n_f(p-1)/p$ 하에서 제약 함수자 $\mathrm{Rep}^{r,\mathrm{cris}}_{\mathrm{tor}}(G) \to \mathrm{Rep}_{\mathrm{tor}}(G_{\underline{\pi}})$ 는 전부 충실하다. 이는 이전의 $f(u) = u^p$ 경우의 결과를 일반화한다.
• 특히 $f(u) = u^p$ 인 경우, 이 결과는 [Oz2]의 정리 1.2를 복원하며, 논문은 $F = \mathbb{Q}_p$ 인 경우 [CL, Remark 5.2.3 및 Section 6.3]에서 제기된 추측을 확인한다.
• 높이 1의 Kisin 모듈이 기하학적으로 $p$-나누어지지 않는 군의 딜로르당 크리스탈과 대응됨을 보이며, 이를 통해 기하학적 해석을 제공한다.
• 추가 가정 $er < p-1$ 하에서는 전부 충실성 조건을 개선할 수 있다: $e(r-1) < n_f(p-1)/p$ 이고 $er < p-1$ 이면 제약 함수자가 전부 충실하며, 모든 토션 Kisin 모듈이 높이 $r$에서 최대임을 고려하면 증명이 간단해진다.
• 전부 충실성의 증명은 호모지 공간을 포함하는 가환 다이어그램에 기반하며, 하단과 오른쪽 화살표의 전단사성(정리 4.13 및 4.8에 의해)이 상단 화살표의 전단사성을 유도함으로써 전부 충실성을 증명한다.