[논문 리뷰] Laurent series expansions of multiple zeta-functions of Euler-Zagier type at integer points

Kohji Matsumoto, Tomokazu Onozuka외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 22.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다변수에서 임의의 정수 점에서 오일러-자지에 다중 제타 함수의 로랑 급수 전개를 계산하기 위한 명시적 공식과 알고리즘을 제공한다. 멜린-바네스 적분과 조화 곱 항등식을 사용하여, 수렴하지 않는 점에서의 특이 행동을 해결하며, 특히 r ≥ 2 및 절대 수렴 영역 외부의 정수 튜플에 대해 일반화된 스티엘티지 상수와 다중 제타 함수 도함수의 형태로 계수를 유도한다.

ABSTRACT

We give explicit expressions (or at least an algorithm of obtaining such expressions) of the coefficients of the Laurent series expansions of the Euler-Zagier multiple zeta-functions at any integer points. The main tools are the Mellin-Barnes integral formula and the harmonic product formulas. The Mellin-Barnes integral formula is used in the induction process on the number of variables, and the harmonic product formula is used to show that the Laurent series expansion outside the domain of convergence can be obtained from that inside the domain of convergence.

연구 동기 및 목표

• 다변수에서 임의의 정수 점에서 오일러-자지 다중 제타 함수의 로랑 급수 전개 계수에 대한 명시적 표현을 유도하기 위해.
• 특히 r ≥ 2일 때 절대 수렴 영역 외부의 정수 점에서 이러한 제타 함수의 행동을 다루기 위해.
• 기존의 특수 함수와 도함수를 사용하여 로랑 계수를 계산하는 알고리즘적 방법을 제공하기 위해.
• 고전적인 리만 제타 함수의 로랑 급수 전개를 (1,…,1) 및 기타 정수 튜플에서의 특이성을 포함한 다변수 설정으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 변수 수 r에 대한 귀납적 추론에서 핵심 도구로 멜린-바네스 적분 공식을 사용한다.
• 조화 곱 항등식을 적용하여 수렴 영역 외부, 특히 특이점까지의 로랑 전개를 연장한다.
• 다중 제타 함수의 편도함수와 일반화된 스티엘티지 상수 γ_(n₁,…,nᵣ)를 사용하여 전개 계수를 표현한다.
• 이항 계수 전개와 극 근처의 제타 값에 대한 점근 분석을 통해 특이 부분과 정규 부분을 계산한다.
• 전개에서 합산 범위를 제어하는 함수 Mᵣ(m)을 통해 재귀적 구조를 도입한다.
• 특히 다수의 변수가 음이 아닌 정수로 수렴할 때, 경계항의 신중한 O-항 추정과 해석적 계속을 통해 발산 항을 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소수 공간 Cʳ 내의 임의의 정수 점 (m₁,…,mᵣ)에서 오일러-자지 다중 제타 함수의 로랑 급수 전개를 체계적으로 어떻게 계산할 수 있는가, 특히 절대 수렴 영역 외부의 점에서도 포함하여?
• RQ2 r ≥ 2 이고 mᵢ ∈ ℤ일 때, 특히 mᵢ ≤ 0 이거나 mᵢ = 1일 경우, 로랑 전개의 특이 부분과 정규 부분의 정확한 구조는 어떠한가?
• RQ3 일반화된 스티엘티지 상수와 다중 제타 함수 도함수의 조합은 다변수 로랑 전개의 계수를 어떻게 매개변수화하는가?
• RQ4 조화 곱 항등식을 사용하여 수렴 영역 외부로까지 로랑 전개를 연장할 수 있는가, 특히 극점에서도 가능한가?
• RQ5 I(s₁,…,sᵣ; Mᵣ(m)+1−η)와 같은 적분 항은 고계 수준에서 수렴성을 유지하고 정확한 극한 값을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 정수 점 (m₁,…,mᵣ)에서 로랑 급수 전개의 계수는 1 ≤ k ≤ r에 대해 일반화된 스티엘티지 상수 γ_(n₁,…,nₖ)와 다중 제타 함수 도함수 ζₖ^(l₁,…,lₖ)(q₁,…,qₖ)의 형태로 명시적으로 표현 가능하다.
• r = 2 이고 (m₁,m₂) ∈ ℤ≤₀ × ℤ일 경우, 전개는 1/(s₁+s₂−m₁−m₂) 극 항과 유한한 정규 항을 포함하며, ζ(m₁+m₂−1)과 γ에 명시적인 의존성을 보인다.
• m₁ ≤ 0 이고 m₂ ≤ 0일 경우, 특이 부분은 이항 계수와 단순 극을 가진 제타 함수에서 기인하며, s₁+s₂ = m₁+m₂에서의 잔여치는 ζ(m₁+m₂−1)에 비례한다.
• 표준 전개가 실패하는 경우, 예를 들어 mᵣ ≤ 0 이거나 mᵣ = 1일 경우, O(|sᵣ−mᵣ|) 및 O(|s₁+⋯+sᵣ−m₁−⋯−mᵣ|) 오차 항을 포함함으로써 방법이 성공적으로 처리한다.
• r = 3일 경우, 일반적으로 적분 나머지 항을 무시할 수 없음을 드러내며, 특히 m₂ ≤ 0 이고 m₃ = 1일 경우 중간 표현에서 특이성이 발생하기 때문이다.
• 조화 곱 공식은 수렴 영역 외부로의 전개 연장이 가능하게 하지만, 극점이 일치할 경우 주의가 필요하다. s₃ = 1의 경우 O(|s₂−m₂|/(s₃−1)) 항이 직접 극한 평가를 방해한다.