[논문 리뷰] Law of Large Numbers and Central Limit Theorems by Jack Generating Functions

Jiaoyang Huang|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 26.

Random Matrices and Applications참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 N-입자 시스템의 대수법칙과 중심극한정리가 그 임계함수의 1에서의 점근적 행동에 의해 결정됨을 보여주며, 이는 Nazarov-Sklyanin 연산자와 임계함수를 고유함수로 가지는 임계대칭함수를 사용한다. 핵심 결과는 점근적 행동—예를 들어 결정론적 한계로의 수렴 또는 가우시안 변동—이 임계생성함수의 로그의 부분도함수의 수렴성에 정확히 의존한다는 것이다.

ABSTRACT

In a series of papers [22-24] by Bufetov and Gorin, Schur generating functions as the Fourier transforms on the unitary group $U(N)$, are introduced to study the asymptotic behaviors of random $N$-particle systems. We introduce and study the Jack generating functions of random $N$-particle systems. In special cases, this can be viewed as the Fourier transforms on the Gelfand pairs $(GL_N(\mathbb R), O(N))$, $(GL_N(\mathbb C), U(N))$ and $(GL_N(\mathbb H), Sp(N))$. Our main results state that the law of large numbers and the central limit theorems for such particle systems, is equivalent to certain conditions on the germ at unity of their Jack generating functions. Our main tool is the Nazarov-Sklyanin operators [50], which have Jack symmetric functions as their eigenfunctions. As applications, we derive asymptotics of Jack characters, prove law of large numbers and central limit theorems for the Littlewood-Richardson coefficients of zonal polynomials, and show that the fluctuations of the height functions of a general family of nonintersecting random walks are asymptotically equal to those of the pullback of the Gaussian free field on the upper half plane.

연구 동기 및 목표

• GL_N(R), GL_N(C), GL_N(H)와 각각의 컴팩트 부분군을 포함하는 게르파인 페어의 설정으로 고전적 확률론의 푸리에 해석적 접근을 중심극한정리에 확장한다.
• Z_{>0} 위의 랜덤 N-입자 시스템을 위한 일반화된 푸리에 변환으로서 임계생성함수를 사용하는 프레임워크를 개발한다.
• 임계생성함수의 1 근처에서의 점근적 행동을 통해 대수법칙과 중심극한정리를 특성화한다.
• 이전의 스슈어생성함수 결과(예: Bufetov 및 Gorin)를 매개수 θ를 가진 더 넓은 임계다항식의 클래스로 통합하고 일반화한다.
• 이 프레임워크를 적용하여 임계특성의 점근적 행동, 지안다항식의 리틀우드-리치아드슨 계수, 비교행렬 랜덤 워크에서의 높이함수의 변동성을 도출한다.

제안 방법

• GL_N(R), O(N)), (GL_N(C), U(N)), (GL_N(H), Sp(N))의 게르파인 페어에서 임계생성함수를 푸리에 변환으로서 도입하여 스슈어생성함수를 일반화한다.
• 임계대칭함수를 고유함수로 가지는 Nazarov-Sklyanin 연산자를 사용하여 모멘트 생성함수와 임계생성함수의 로그의 도함수를 연결한다.
• 카우치 항등식과 스케일드 임계대칭함수를 사용하여 생성함수를 푸워르 합대칭함수의 형태로 표현한다.
• p = 1^N 에서 log F_N 의 부분도함수의 수렴성을 분석함으로써 임계생성함수의 1에서의 점근적 행동을 연구한다.
• 분할과 다항계수를 포함하는 조합적 항등식을 사용하여 입자 시스템의 모멘트와 생성함수의 도함수를 연결한다.
• 대수법칙과 중심극한정리가 각각 log F_N 의 1에서의 일阶 및 이阶 도함수의 수렴성과 등가임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 N-입자 시스템에서 대수법칙이 성립하기 위한 임계생성함수의 조건은 무엇인가?
• RQ2 입자 시스템의 중심극한정리는 1 근처에서 임계생성함수의 점근적 행동으로 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ3 임계생성함수의 1에서의 점근적 행동과 입자 시스템의 극한 분포 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 임계특성과 지안다항식의 리틀우드-리치아드슨 계수의 점근적 행동은 생성함수의 도함수와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이 프레임워크를 통해 비교행렬 랜덤 워크에서의 높이함수의 변동이 가우시안 자유장의 풀백으로 수렴하는가?

주요 결과

• N-입자 시스템의 대수법칙은 p = 1^N 에서 log F_N 의 일阶 부분도함수의 수렴성과 등가이다.
• 일수준 시스템의 중심극한정리는 log F_N 의 1에서 이阶 부분도함수가 유한한 극한으로 수렴할 때에만 성립한다.
• 다중수준 시스템의 경우, log F_N 의 혼합 이阶 도함수의 1에서의 공동 수렴성이 입자 시스템의 공동 가우시안 변동을 특성화한다.
• 일반적인 비교행렬 랜덤 워크의 높이함수의 변동은 상반평면 위의 가우시안 자유장의 풀백으로 수렴한다.
• 임계특성의 점근적 행동은 1에서의 임계생성함수의 점근적 행동에 의해 완전히 결정되며, 도함수 분석을 통해 명시적 공식이 유도된다.
• 지안다항식의 곱에 대한 리틀우드-리치아드슨 계수는 동일한 생성함수의 도함수 조건에 의해 지배되는 유니버설 점근적 변동을 보인다.