[논문 리뷰] Law of large numbers and fluctuations in the sub-critical and $L^2$ regions for SHE and KPZ equation in dimension $d\geq 3$

Clément Cosco, Shuta Nakajima외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 34인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 차원 $d \geq 3$ 에서 전체 약한 불순도 영역 및 $L^2$-영역에서 스토하스틱 히트 방정식(SHE)과 카르다르-파리지-즈웅(KPZ) 방정식에 대해 대수의 법칙과 중심극한정리들을 확립한다. 마팅게일 중심극한정리와 방향성 폴리머에 대한 정교한 국소극한정리들을 활용하여, 이전 연구에서 다루지 못했던 일반적인 초기 조건과 다차원 수렴을 포함한 일반화된 결과를 도출함으로써, 이전 연구에서의 초임계 및 에드워즈-윌킨슨 영역에 대한 격차를 해결한다.

ABSTRACT

There have been recently several works studying the regularized stochastic heat equation (SHE) and Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) equation in dimension $d\geq 3$ as the smoothing parameter is switched off, but most of the results did not hold in the full temperature regions where they should. Inspired by martingale techniques coming from the directed polymers literature, we first extend the law of large numbers for SHE obtained in [MSZ16] to the full weak disorder region of the associated polymer model and to more general initial conditions. We further extend the Edwards-Wilkinson regime of the SHE and KPZ equation studied in [GRZ18,MU17,DGRZ20] to the full $L^2$-region, along with multidimensional convergence and general initial conditions for the KPZ equation (and SHE), which were not proven before. To do so, we rely on a martingale CLT combined with a refinement of the local limit theorem for polymers.

연구 동기 및 목표

• 이전 연구에서 다룬 제한된 약한 불순도 영역을 초월하여 스토하스틱 히트 방정식(SHE)에 대한 대수의 법칙을 확장하는 것.
• SHE 및 KPZ의 에드워즈-윌킨슨 영역을 전체 $L^2$-영역으로 일반화하여 다차원 수렴과 일반적인 초기 조건을 포함하는 것.
• 차원 $d \geq 3$ 에서 전체 온도 및 $L^2$-영역을 아우르지 못하는 기존 결과의 한계를 극복하는 것.
• 정규화된 SHE 및 KPZ 방정식의 점근적 행동을 철저한 프레임워크로 제공하는 것, 특히 스무딩 매개수의 극한에서의 행동을 다루기 위함.

제안 방법

• SHE 및 KPZ 방정식의 $L^2$-영역에서 변동성을 분석하기 위해 마팅게일 중심극한정리(martingale CLT)를 활용한다.
• 약한 불순도 영역에서 분할 함수의 수렴을 제어하기 위해 방향성 폴리머에 대한 정교한 국소극한정리를 적용한다.
• 정규화된 SHE와 폴리머 분할 함수 간의 관계를 파인만-하스 공식을 통해 기반으로 하기 위해, 확률적 역전된 백색잡음장 $\xi^{(\varepsilon,t)}$ 를 확산 스케일링하여 사용한다.
• SHE의 해와 KPZ 방정식 간의 연결을 위해 호프-콜 기반 $h_\varepsilon = \log u_\varepsilon$ 를 활용한다.
• 스케일링된 노이즈를 $\varepsilon^{(d-2)/2}$ 로 조정하여 $\varepsilon \to 0$ 일 때 수렴을 보장하는 재정규화 기법을 적용한다.
• 오차 항의 수렴에서 조건부 기대값의 수렴 오차를 제어하기 위해 히트 커널 추정과 브라운 운동 브리지 계산을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SHE에 대한 대수의 법칙은 $d \geq 3$ 에서 전체 약한 불순도 영역으로 확장 가능한가?
• RQ2 SHE 및 KPZ 방정식의 에드워즈-윌킨슨 영역은 일반적인 초기 조건을 포함한 전체 $L^2$-영역에서도 성립하는가?
• RQ3 이전의 일차원 결과를 초월하여 $L^2$-영역에서 KPZ 방정식에 대해 다차원 수렴을 확립할 수 있는가?
• RQ4 지방 폴리머 이론에서 유도된 마팅게일 기법을 초임계 차원에서 변동 한계를 증명하기 위해 어떻게 응용할 수 있는가?

주요 결과

• 일반적인 초기 조건을 포함하여, 관련 폴리머 모델의 전체 약한 불순도 영역에서 SHE에 대한 대수의 법칙이 확장됨을 입증하였다.
• SHE 및 KPZ 방정식의 에드워즈-윌킨슨 영역이 전체 $L^2$-영역으로 엄밀히 확장되었으며, 다차원 수렴이 포함됨을 보였다.
• 마팅게일 중심극한정리를 통해 $L^2$-영역에서 SHE 및 KPZ에 대한 중심극한정리를 확립하였으며, 수렴 속도는 $\ell/T$-의존적 상한에 의해 제어됨을 보였다.
• 조건부 기대값과 그 극한값 간의 차이에 대해 균일한 상한을 도출하였으며, 적절한 정규화 하에 오차가 $O((\ell/T)^{1/2})$ 의 속도로 감소함을 보였다.
• 정규화 매개수 $C_\varepsilon = \beta^2 V(0) \varepsilon^{-2}/2$ 가 정규화된 KPZ 방정식에서 발산을 올바르게 제거함을 확인하였다.
• 이전 연구에서 평탄하거나 유계인 초기 자료에 국한되었던 결과들을 일반적인 초기 조건 $u_0$ 및 $h_0$ 로 확장하였다.