[논문 리뷰] Law of the exponential functional of a new family of one-sided Levy processes via self-similar continuous state branching processes with immigration and the Wright hypergeometric functions

Pierre Patie|ArXiv.org|2007. 12. 07.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $1 < \alpha < 2$ 및 $\gamma > -\alpha$ 인 경우 라플라스 지수에 포흐하머 심볼을 포함하는 새로운 이중 매개수의 한쪽 방향 레비 과정 가족을 제안하고, 이 과정의 지수 기능의 밀도를 자가유사 연속 상태 분열 과정과 유입을 갖는 과정을 통해 유도한다. 주요 결과는 밀도가 ${}_{1} \bar{\Psi}_{1}$ 라이트 하이퍼기하함수로 표현되며, 덤프레인의 역 감마 법칙과 역 린니크 분포와 같은 기존 결과를 일반화한다는 것이다.

ABSTRACT

We first introduce and derive some basic properties of a two-parameters family of one-sided Levy processes. Their Laplace exponents are given in terms of the Pochhammer symbol. This family includes, in a limit case, the family of Brownian motion with drifts. Then, we proceed by computing the density of the law of the exponential functional associated to some elements of this family (and their dual) and some transformations of these elements. These densities are expressed in terms of the Wright hypergeometric functions. By means of probabilistic arguments, we derive some interesting properties enjoyed by these functions. On the way we also characterize explicitly the density of the semi-groups of the family of self-similar continuous state branching processes with immigration.

연구 동기 및 목표

• 주어진 조건 $1 < \alpha < 2$ 및 $\gamma > -\alpha$ 에서 라플라스 지수에 포흐하머 심볼을 포함하는 새로운 이중 매개수의 한쪽 방향 레비 과정 가족을 정의하고 연구하는 것.
• 이 가족의 특정 구성원들과 그 변환에 대응하는 지수 기능의 밀도를 계산하는 것.
• 이 레비 과정에 라멘티어 맵핑을 적용하여 자가유사 양수 마코프 과정의 반응군을 특성화하는 것.
• 이 과정의 입구 법칙을 ${}_{1}\Psi_{1}$ 라이트 하이퍼기하함수로 표현하는 것.
• 이러한 과정의 확률적 구조를 통해 라이트 하이퍼기하함수 ${}_{1}\Psi_{1}$ 의 새로운 확률적 성질을 도출하는 것.

제안 방법

• 라플라스 지수가 $\psi^{(\gamma)}(\lambda) = c\left((\lambda + \gamma)_{\alpha} - (\gamma)_{\alpha}\right)$ 인 이중 매개수의 스펙트럴 음성 레비 과정 가족을 도입하며, 여기서 $(\cdot)_\alpha$ 는 포흐하머 심볼이다.
• 이 레비 과정들과 자가유사 연속 상태 분열 과정과 유입을 갖는 과정(cBIP)을 연결하기 위해 라멘티어 맵핑을 적용한다.
• 기존의 cBIP 결과를 활용하여 관련 마코프 과정의 반응군의 공간적 라플라스 변환을 유도한다.
• 거꾸로 라플라스 변환의 역을 멱급수 기법을 사용하여 반응군의 밀도에 대한 명시적 표현을 도출한다.
• 반응군의 입구 법칙을 라이트 하이퍼기하함수 ${}_{1}\Psi_{1}$ 로 표현한다.
• 이 입구 법칙을 라플라스 지수가 $\psi^{(0,\delta)}(\lambda) = \psi^{(0)}(\lambda) - \frac{\alpha\delta}{\lambda + \alpha - 1}\psi^{(0)}(\lambda)$ 인 레비 과정의 지수 기능의 법칙과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라플라스 지수에 포흐하머 심볼을 포함하고 $\alpha \in (1,2)$ 및 $\gamma > -\alpha$ 에 의해 매개수화된 새로운 한쪽 방향 레비 과정 가족을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 이 새로운 레비 과정 가족과 그 쌍대체에 대해 지수 기능의 밀도가 명시적으로 어떻게 표현되는가?
• RQ3 관련된 자가유사 양수 마코프 과정의 반응군 입구 법칙은 어떻게 ${}_{1}\Psi_{1}$ 라이트 하이퍼기하함수와 관련이 있는가?
• RQ4 이러한 과정의 확률적 구조를 통해 ${}_{1}\Psi_{1}$ 라이트 하이퍼기하함수의 어떤 새로운 확률적 성질을 도출할 수 있는가?
• RQ5 이 가족의 극한 경우는 어떻게 알려진 법칙들인 역 감마 분포나 역 린니크 분포를 복원하는가?

주요 결과

• 라플라스 지수가 $\psi^{(0,\delta)}(\lambda)$ 인 레비 과정의 지수 기능은 라이트 하이퍼기하함수 ${}_{1}\Psi_{1}$ 로 표현된 밀도를 갖는다.
• 특수한 경우로 $\alpha = 2$ 이고 $\delta = 1$ 일 때 역 감마 분포가 회복되며, 이는 덤프레인의 결과를 확인한다.
• 역 린니크 분포는 이 가족의 극한 경우로 나타나며, 안정 분포에 대한 기존 결과를 확장한다.
• 라플라스 지수가 $\psi^{(0,\delta)}$ 인 레비 과정과 관련된 자가유사 양수 마코프 과정의 반응군은 라이트 하이퍼기하함수 ${}_{1}\Psi_{1}$ 를 통해 명시적으로 특성화된다.
• 경로 적분 표현과 잔여물 계산법을 사용하여 ${}_{1}\Psi_{1}$ 함수의 점근 전개를 도출하였으며, 이는 대수적 및 지수적 점근성을 제공한다.
• 반응군의 입구 법칙이 ${}_{1}\Psi_{1}$ 함수의 계수를 포함하는 멱급수 형태로 표현될 수 있음을 보이며, 베셀 과정과 saw-tooth 과정 이외의 클래스에 대해 새로운 명시적 표현을 제공한다.