[논문 리뷰] Laws and Likelihoods for Ornstein Uhlenbeck-Gamma and other BNS OU Stochastic Volatilty models with extensions

Lancelot F. James|ArXiv.org|2006. 04. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 42인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 바른도르프-니엘슨과 셰파드(BNS)가 제안한 오르nst-울렌벡(Ornstein-Uhlenbeck) 스토하스틱 볼라티리티 모델, 특히 OU-감마(OU-Γ) 과정에 대해 무한차원 모델을 정확한 시뮬레이션과 라플라스 변환 기법을 통해 유한차원 모델로 축소시킴으로써 다루기 쉬운 가능성 기반 추론을 개발한다. 주요 기여는 감마 및 딜리클레 과정의 성질을 활용한 OU-Γ 모델에서의 공동분포에 대한 새로운 정확한 샘플링 방법을 제안하여, 일반적인 페일러 일반화 감마 병합(Feller Generalized Gamma Convolution, FGGC) 모델 내에서 효율적인 몬테카를로 가능성 분석 및 옵션 가격 설정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In recent years there have been many proposals as flexible alternatives to Gaussian based continuous time stochastic volatility models. A great deal of these models employ positive Lévy processes. Among these are the attractive non-Gaussian positive Ornstein-Uhlenbeck (OU) processes proposed by Barndorff-Nielsen and Shephard (BNS) in a series of papers. One current problem of these approaches is the unavailability of a tractable likelihood based statistical analysis for the returns of financial assets. This paper, while focusing on the BNS models, develops general theory for the implementation of statistical inference for a host of models. Specifically we show how to reduce the infinite-dimensional process based models to finite, albeit high, dimensional ones. Inference can then be based on Monte Carlo methods. As highlights, specific to BNS we show that an OU process driven by an infinite activity Gamma process, that is an OU-$Γ$, exhibits unique features which allows one to exactly sample from relevant joint distributions. We show that this is a consequence of the OU structure and the unique calculus of Gamma and Dirichlet processes. Owing to another connection between Gamma/Dirichlet processes and the theory of Generalized Gamma Convolutions (GGC) we identify a large class of models, we call (FGGC), where one can perfectly sample marginal distributions relevant to option pricing and Monte Carlo likelihood analysis. This involves a curious result, we establish as Theorem 6.1. We also discuss analytic techniques and candidate densities for Monte-Carlo procedures which apply more generally.

연구 동기 및 목표

• 바른도르프-니엘슨과 셰파드(Barnorff-Nielsen and Shephard, BNS)가 제안한 비정규, 연속시간 스토하스틱 볼라티리티 모델에서 다루기 쉬운 가능성 방법의 부족 문제를 해결하기 위해.
• 고차원, 무한차원 프로세스 모델을 유한차원 근사로 축소시킴으로써 금융 수익률 모델에 대한 통계적 추론을 가능하게 하기 위해.
• 감마 및 딜리클레 과정과의 연결과 고유한 미적분학적 성질을 활용해 OU-Γ 과정에 대한 정확한 샘플링 절차를 수립하기 위해.
• 정확한 시뮬레이션과 가능성 계산이 가능한 모델의 광범위한 클래스인 FGGC로 이러한 방법을 확장하기 위해.
• 일반적인 OU 기반 SV 모델에서 옵션 가격 설정 및 가능성 추정을 위한 실용적인 몬테카를로 샘플링 기법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 레비 하위서브도리너에 의해 구동되는 올름슈타인-울렌벡 프로세스의 구조를 활용하여 가능성 계산의 차원을 감소시킨다.
• 웨버-소닌 공식과 라플라스 변환 항등식을 적용하여 OU-Γ 모델에서 통합 분산의 정확한 분포를 유도한다.
• 딜리클레 과정과의 연결을 통한 정확한 시뮬레이션 기법을 활용하여 볼라티리티와 통합 분산의 공동분포에서 정확하게 샘플링한다.
• 보조 변수와 확장된 밀도를 기반으로 한 몬테카를로 방법을 개발하며, 특히 $Q_1$ 및 $Q_2$ 샘플링 체계를 활용한다.
• 페러-일반화 감마 병합(Feller Generalized Gamma Convolution, FGGC) 프레임워크를 활용하여 정확한 샘플링과 가능성 계산이 가능한 모델의 광범위한 클래스를 식별한다.
• 일반적인 OU 모델에서 가능성 함수를 근사하기 위해 푸리에余弦 적분 표현을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 성격을 지닌 BNS OU-감마 스토하스틱 볼라티리티 모델에 대해서도 정확한 가능성 추론을 수행할 수 있는가?
• RQ2 감마 및 딜리클레 과정의 어떤 수학적 성질이 OU-감마 모델에서 정확한 샘플링을 가능하게 하는가?
• RQ3 페러 일반화 감마 병합(FGGC) 프레임워크는 어떻게 더 넓은 범위의 스토하스틱 볼라티리티 모델로 정확한 샘플링을 확장하는 데 활용될 수 있는가?
• RQ4 일반적인 OU 기반 스토하스틱 볼라티리티 모델에서 가능성 기반 추론을 위한 실용적인 몬테카를로 샘플링 전략은 무엇인가?
• RQ5 라플라스 변환 접근법은 OU-스테이블 또는 OU-로그노멀 모델과 같이 밀도 함수가 구하기 어려운 경우에 알려진 밀도 함수의 계산 가능 대안이 될 수 있는가?

주요 결과

• 감마 및 딜리클레 과정의 고유한 미적분학적 성질 덕분에 OU-감마 과정는 공동분포에 대한 정확한 정확한 시뮬레이션을 가능하게 하며, 이는 다루기 쉬운 가능성 추론을 가능하게 한다.
• 정리 6.1은 OU-FGGC 모델에서 정확한 시뮬레이션을 위한 충분조건을 제시하며, 특히 혼합 측도 $H$가 아크사인 분포일 경우에 해당한다.
• OU-감마 모델에서는 보조 변수 방법과 베타 분포를 활용하여 통합 분산과 볼라티리티의 공동법을 정확하게 샘플링할 수 있다.
• 특히 OU-스테이블과 같은 모델에서 밀도 함수 계산이 복잡한 경우, $Q_2$를 통한 라플라스 변환 접근법은 수치적으로 안정적이고 효율적인 대안을 제공한다.
• 레비 밀도가 알려져 있지 않은 OU-로그노멀 모델의 경우, 이 방법은 레비 지수의 수치적 평가를 통해 가능성 근사가 가능하게 한다.
• FGGC 프레임워크는 정확한 시뮬레이션과 가능성 계산이 가능한 광범위한 모델 클래스를 식별하며, 이는 일반화 감마 병합 이론을 기반으로 한다.