[논문 리뷰] Lawson homology, morphic cohomology and Chow motives

Wenchuan Hu, Li Li|arXiv (Cornell University)|2007. 11. 04.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 몰입 프로젝티브 다양체에 대해 유리수 계수를 포함한 카우 차수 모티브 위에서 라우슨 homology와 모픽 코homology를 수립하고, 이를 이용해 매끄러운 복소 프로젝티브 표면 위의 하이베르트 스킴에 대한 공식을 도출한다. 주요 기여는 유한 사상과 일반 곡선의 양자군에 관한 결과를 통해 비자명한 그리프스 군을 갖는 매끄러운 곡선의 자기곱 예를 구성한 것이다.

ABSTRACT

In this paper, the Lawson homology and morphic cohomology are defined on the Chow motives. We also define the rational coefficient Lawson homology and morphic cohomology of the Chow motives of finite quotient projective varieties. As a consequence, we obtain a formula for the Hilbert scheme of points on a smooth complex projective surface. Further discussion concerning generic finite maps is given. As a result, we give examples of self-product of smooth projective curves with nontrivial Griffiths groups by using a result of Ceresa.

연구 동기 및 목표

• 카우 차수 모티브의 범주로 확장하여 라우슨 homology와 모픽 코homology를 정의함으로써, 이 이론들을 유한 몰입 프로젝티브 다양체의 모티브로 확장한다.
• 모티브와 모픽 코hom로의 기능적 프레임워크를 수립하여, 모티브 이론의 결과를 사이클 이론적 불변량으로 이전할 수 있도록 한다.
• 이 이론을 적용하여 표면 위의 하이베르트 스킴의 라우슨 homology를 계산하고, 곡선의 자기곱의 그릭스 군을 연구한다.
• 유리수 계수의 라우슨 homology와 유한 사상들을 이용하여 비틀림 불변량과 유일루프드 3차원 다양체를 탐색한다.
• 유한 사상과 양자군 구성에 의해 비자명한 그릭스 군을 갖는 다양체의 새로운 예를 제공한다.

제안 방법

• 사이클 공간의 카우 위상수를 갖는 호모토피 군을 사용하여 카우 차수 모티브 위에서 라우슨 homology와 모픽 코homology를 정의한다.
• 카우 차수 모티브의 범주에서 대응관계를 사용하여, 전이와 프로젝터를 통한 라우슨 homology와 모픽 코호모로지 위의 사상 작용을 정의한다.
• 유한군 작용에 의한 몰입이 있는 매끄러운 준프로젝티브 다양체에 대해, 그 유리수 계수의 라우슨 homology가 G-불변 부분공간을 통해 몰입된 다양체의 라우슨 homology와 자연스럽게 동형임을 증명한다.
• 프로젝티브 번들의 경우, 블로우업 및 셀 분해 가능 다양체에 대해 프리드랜더, 가브버, 후의 알려진 결과를 활용하여 이론을 적용한다.
• 카펜코의 모티브 정리에 기반하여 몰입 다양체의 라우슨 homology와 모픽 코호모로지를 분해한다.
• 유한 사상과 비틀림 사상들을 활용하여 호모로지 불변량을 비교하고, 유리수 호모로지 차원에 대한 부등식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라우슨 homology와 모픽 코호모로지를 카우 차수 모티브의 범주로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 유한 몰입에 대한 다양체의 유리수 계수의 라우슨 homology와 그 몰입의 관계는 무엇인가?
• RQ3 매끄러운 프로젝티브 표면 위의 점 n개의 하이베르트 스킴은 모티브 기법을 통해 라우슨 homology로 어떻게 묘사될 수 있는가?
• RQ4 유한 사상이 유리수 라우슨 homology와 그릭스 군에 대해 전사 또는 단사 사상으로 작용하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 생성수 ≥3인 일반 곡선의 자기곱은 비자명한 그릭스 군을 갖는가? 이는 양자군과 유한 덮개를 통해 어떻게 보일 수 있는가?

주요 결과

• 라우슨 homology와 모픽 코호모로지는 대응관계에 의해 유도되는 사상 작용을 갖는 카우 차수 모티브의 범주에서 잘 정의된 함자이다.
• 유한군 작용 $G$가 매끄러운 준프로젝티브 다양체 $X$ 위에 작용하고 몰입이 $X'$일 때, $\pi_*$에 의해 유도되는 자연스러운 동형사상 $\pi_*:(L_pH_k(X,\mathbb{Q}))^G \cong L_pH_k(X',\mathbb{Q})$ 가 존재한다.
• 매끄러운 복소 프로젝티브 표면 위의 $n$개 점의 하이베르트 스킴은 모티브 프레임워크와 블로우업 공식을 통해 유도된 라우슨 homology 공식을 갖는다.
• 유일루프드 3차원 다양체의 경우, 모든 유한 차수를 제외한 차수에서 유리수 라우슨 homology는 싱귤러 호모로지와 일치하며, 임계 차수에서는 단사 사상이 존재한다.
• 생성수 $g \geq 3$인 일반 곡선 $C$에 대해, $g$중 자기곱인 $X = C^g$는 $1 \leq p \leq g-2$에 대해 비자명한 유리수 그릭스 군 $\mathrm{Griff}_p(X) \otimes \mathbb{Q}$을 갖는다.
• 자연스러운 유한 사상 $\pi: C^g \to C^{(g)}$ (대칭곱)과 비틀림 사상 $C^{(g)} \to J(C)$는 $1 \leq p \leq g-2$에 대해 $\dim_{\mathbb{Q}} \mathrm{Griff}_p(C^g) \otimes \mathbb{Q} \geq \dim_{\mathbb{Q}} \mathrm{Griff}_p(J(C)) \otimes \mathbb{Q} > 0$ 를 유도한다.