[논문 리뷰] Lax comma $2$-categories and admissible $2$-functors

Maria Manuel Clementino, Fernando Lucatelli Nunes|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Janelidze의 범주론적 갈루아 이론의 2-범주적 확장을 위해 느슨한 콤마 2-범주와 2-가능한 2-함수를 도입함으로써 수행한다. 2-수반 관계가 기저 교체 2-함수를 통해 느슨한 콤마 2-범주로 올라가며 2-수반 관계를 형성하고, 이러한 올림이 느슨한 아이디포텐트 2-모나드를 유도하는 충분한 조건을 규명한다. 또한 2-가능한 2-함수를 이러한 구조를 유도하는 함수로 특성화한다.

ABSTRACT

This paper is a contribution towards a two dimensional extension of the basic ideas and results of Janelidze-Galois theory. In the present paper, we give a suitable counterpart notion to that of extit{absolute admissible Galois structure} for the lax idempotent context, compatible with the context of extit{lax orthogonal factorization systems}. As part of this work, we study lax comma $2$-categories, giving analogue results to the basic properties of the usual comma categories. We show that each morphism of a $2$-category induces a $2$-adjunction between lax comma $2$-categories and comma $2$-categories, playing the role of the usual extit{change of base functors}. With these induced $2$-adjunctions, we are able to show that each $2$-adjunction induces $2$-adjunctions between lax comma $2$-categories and comma $2$-categories, which are our analogues of the usual lifting to the comma categories used in Janelidze-Galois theory. We give sufficient conditions under which these liftings are $2$-premonadic and induce a lax idempotent $2$-monad, which corresponds to our notion of $2$-admissible $2$-functor. In order to carry out this work, we analyse when a composition of $2$-adjunctions is a lax idempotent $2$-monad, and when it is $2$-premonadic. We give then examples of our $2$-admissible $2$-functors (and, in particular, simple $2$-functors), specially using a result that says that all admissible ($2$-)functors in the classical sense are also $2$-admissible (and hence simple as well). We finish the paper relating coequalizers in lax comma $2$-categories and Kan extensions.

연구 동기 및 목표

• Janelidze의 범주론적 갈루아 이론을 2-범주적 맥락으로 확장하여 절대적으로 가능성이 있는 갈루아 구조의 2차원 대응체를 규명하는 것.
• 클래식한 콤마 범주에 대응하는 2차원 대체체로 느슨한 콤마 2-범주 이론을 개발하는 것.
• 2-수반 관계를 느슨한 콤마 2-범주로 올릴 때 느슨한 아이디포텐트 2-모나드를 유도하는 2-가능한 2-함수를 정의하고 특성화하는 것.
• 2-수반 관계의 합성으로 느슨한 아이디포텐트 2-모나드가 유도되고 2-전단조가 되는 조건을 확립하며, Kock-Zöberlein 모나드 이론과 연결하는 것.
• 2-가능한 2-함수의 예를 제시하며, 특히 유한 가족 2-범주로의 표준 포함 사상이 2-가능한 성질을 지닌다는 것을 보여주며, 고전적 가능성이 있는 함숫값이 2-가능한 성질을 갖는다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 콤마 2-범주에 대한 2차원 일반화로서 느슨한 콤마 2-범주를 도입하며, 1차원 범주론적 콤마 객체와 유사한 보편 성질을 지닌다.
• 각 2-범주 내의 사상에 대해 콤마 2-범주와 느슨한 콤마 2-범주 사이의 2-수반 관계를 구성함으로써, 기저 교체 함숫값의 2차원 대응체를 제공한다.
• 이 2-수반 관계를 이용해 기저 교체 2-함수와의 복합을 통해 2-수반 관계를 느슨한 콤마 2-범주로 올리는 두 단계의 과정을 형성한다.
• 2-수반 관계의 합성이 느슨한 아이디포텐트 2-모나드가 되는 조건을 2-전단조성과 보편적 올림 성질을 이용해 분석한다.
• 2-함수 $ I_{ ext{A}}: ext{A} o ext{Fam}_{ ext{fin}}( ext{A}) $에 이론을 적용하여, $ ext{A} $가 lextensive일 경우 이 2-함수가 2-가능한 성질을 지닌다는 것을 보여준다.
• 유한 극한과 쌍대합이 존재하며, 슬라이스 범주들의 곱과 쌍대합 위의 슬라이스 사이에 자연스러운 동치가 존재하는 lextensive 2-범주 개념을 활용하여 핵심 동치관계와 전사성 결과를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Janelidze 이론에서 절대적으로 가능성이 있는 갈루아 구조의 적절한 2-범주적 대응체는 무엇인가?
• RQ2 고전적 기저 교체 함숫값은 어떻게 2-범주적 맥락으로 일반화되어 2-수반 관계의 올림을 지원할 수 있는가?
• RQ3 느슨한 콤마 2-범주로 2-수반 관계를 올릴 때 어떤 조건에서 느슨한 아이디포텐트 2-모나드가 유도되는가?
• RQ4 어떤 2-함수들이 2-가능한가, 즉 이러한 올림을 통해 느슨한 아이디포텐트 2-모나드를 유도하는가?
• RQ5 고전적으로 가능성이 있는 2-함수들이 새로운 프레임워크에서 여전히 2-가능한가?

주요 결과

• 논문은 각 2-범주 내의 사상에 대해 콤마 2-범주와 느슨한 콤마 2-범주 사이의 2-수반 관계를 구성하여, 1-범주론적 기저 교체 구성의 2차원 일반화를 수행한다.
• 기저 교체 2-함수와의 복합을 통해 2-수반 관계를 느슨한 콤마 2-범주로 올릴 때, 해당 느슨한 콤마 2-범주들 사이의 2-수반 관계가 형성됨을 규명한다.
• 이러한 올림이 느슨한 아이디포텐트 2-모나드를 유도하는 충분한 조건은 2-수반 관계의 합성이 2-전단조이면서 느슨한 아이디포텐트 구조를 유도한다는 것이다.
• 표준 포함 사상 $ I_{ ext{A}}: ext{A} o ext{Fam}_{ ext{fin}}( ext{A}) $ 는 $ ext{A} $가 lextensive 2-범주일 경우 2-가능한 것으로 밝혀진다.
• 2-자연 동치 (7.0.3)를 통해 유도된 변환 $ ho_Y^* heta $ 에서 $ I_{ ext{A}} $ 가 전사적임이 확인되어, 그 2-가능성의 확인이 이루어진다.
• 모든 고전적으로 가능성이 있는 2-함수들이 새로운 의미에서 2-가능한 것으로 밝혀져, 고전적 갈루아 이론과 2-범주적 갈루아 이론 사이의 다리를 놓는다.