[논문 리뷰] Lax formal theory of monads, monoidal approach to bicategorical structures and generalized operads

Dimitri Chikhladze|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 삼권범주(tricategories) 내부의 모나드에 대한 느슨한(formal) 이론을 개발하며, T-장비(T-equipments)와 ∗-장비(∗-equipments)를 도입하여 클라이슬리 구성(Kleisli construction)을 통해 일반화된 다중카테고리(T-monoids)를 일반화한다. 2-함수자로 작용하는 클라이슬리 구성과 그 확장 ∗Kl를 수립함으로써 T-모노이드 카테고리 간의 비교가 가능해지고, 자유 T-대수와 기저 T-모노이드 함자들을 구성할 수 있다. 이는 대칭 다중카테고리와 전이 다중카테고리(tricategories)에 응용된다.

ABSTRACT

Generalized operads, also called generalized multicategories and $T$-monoids, are defined as monads within a Kleisli bicategory. With or without emphasizing their monoidal nature, generalized operads have been considered by numerous authors in different contexts, with examples including symmetric multicategories, topological spaces, globular operads and Lawvere theories. In this paper we study functoriality of the Kleisli construction, and correspondingly that of generalized operads. Motivated by this problem we develop a lax version of the formal theory of monads, and study its connection to bicategorical structures.

연구 동기 및 목표

• 삼권범주 내부의 모나드에 대한 느슨한 형식 이론을 개발하여 이중범주(bicategories) 내 모나드의 형식 이론을 일반화한다.
• 클라이슬리 구성(Kl)을 2-함수자로 형식화하고, T-∗-장비에서의 확장 ∗Kl를 통해 T-모노이드 카테고리 간의 함수적 비교를 가능하게 한다.
• 편의 프로파일러와 삼권범주를 통한 이중범주적 구조의 모나드적 접근을 수립하여 느슨한 모나드와 가상의 이중카테고리 사이의 연결 고리를 제공한다.
• 자유 T-대수와 기저 T-모노이드 함자를, 자유 이중카테고리와 기저 다중카테고리 함수의 유사물로 구성한다.
• 장비(equipments)가 편의 프로파일러의 삼권범주에서 느슨한 모나드임을 보이며, 느슨한 모나드 이론과 일반화된 다중카테고리 사이의 다리를 놓는다.

제안 방법

• T-장비는 모나드 T를 갖춘 이중범주 유사 구조 A를 형식화하여, T-모노이드의 존재를 위한 일반적 맥락을 제공한다.
• ∗-장비와 T-∗-장비를 정의하여 예시에서 나타나는 추가 구조(예: 2-세포에 대한 오른쪽 수반)를 모델링한다.
• T-∗-장비 위에서 클라이슬리 2-함수자 Kl과 그 확장 ∗Kl를 구성함으로써 T-모노이드 카테고리 간의 2-함수자적 비교를 가능하게 한다.
• 삼권범주 Mod를 통해 수평적 합성의 표현을 모나드 유사 구조를 통해 다루며, 이중범주 유사 구조를 표현한다.
• 느슨한 분배 법칙과 합성 구성 Comp를 적용하여 느슨한 모나드와 그 대수 사이의 관계를 규명한다.
• 가상의 이중카테고리를 삼권범주에서의 모나드 이론적 구성으로 재해석함으로써, Mod(A)가 삼권범주적 모듈 구성으로 볼 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형식 이론의 모나드는 어떻게 삼권범주 내부의 느슨한 설정으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 클라이슬리 구성이 2-함수자로 작용하고 ∗Kl로 확장되기 위해 필요한 구조(예: ∗-장비)는 무엇인가?
• RQ3 편의 프로파일러의 삼권범주 내에서 느슨한 모나드는 일반화된 다중카테고리와 가상의 이중카테고리와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 이 틀 안에서 자유 T-대수와 기저 T-모노이드 함수를 구성할 수 있으며, 이는 고전적 이중카테고리 이론과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 Mod(A)의 구성에 대해 기존의 장비들로부터 새로운 장비들을 생성하는 데 있어, 보편적인 삼권범주적 기술이 존재하는가?

주요 결과

• 클라이슬리 구성 Kl은 T-장비 위에서 2-함수자이며, 그 확장 ∗Kl는 T-∗-장비 위에서 2-함수자로 작용하여 T-모노이드 카테고리 간의 2-함수자적 비교를 가능하게 한다.
• ∗Kl 구성은 오른쪽 수반을 통한 opaction의 합성 ∗⊥을 정의한 함수 Comp⊥∗와 일치하며, 이는 느슨한 형식 이론 내에서의 역할를 검증한다.
• 편의 프로파일러의 삼권범주 Mod는 모나드 이론적 방법으로 구성되며, 이중범주는 편의 모나드로, 비프로파일러는 이중편의 모듈로 간주된다.
• 장비가 삼권범주 2-Prof 내에서 느슨한 모나드임을 보이며, 느슨한 모나드 이론과 이중범주적 구조 사이의 다리를 놓는다.
• Mod(A)의 구성은 기존의 장비들로부터 새로운 장비들을 생성하며, Mat(V)에 적용하면 Prof(V)를 회복한다. 이는 (T₀, Prof(Set)) 내에서 T-모노이드가 향상된 대칭 다중카테고리를 생성함을 보여준다.
• 논문은 가상의 이중카테고리가 삼권범주 내에서 느슨한 모나드로 재해석될 수 있음을 제시하며, 일반화된 다중카테고리와 삼권범주적 구조 사이의 깊은 연결 고리를 시사한다.