[논문 리뷰] Le groupe de Selmer des isog\'enies de hauteur un

Damian Rössler|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 07.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성의 완전체 위의 매끄럽고 준사영인 다양체의 함수체 위에서 정의된 아벨 다양체 사이의 높이 1 이소ogeny의 셀머 군이 기저 다양체 위의 두 자연스러운 벡터(bundle) 간의 호모모르피즘 공간에 자연스럽게 통합됨을 증명한다. 주요 결과는 이 통합이 로그 미분형식의 전역 단면에서 자연스러운 제약 사상의 이미지 안에 놓임을 보여주며, 이는 정규 교차 분열을 따라 로그 특이성을 가진 벡터 번들의 호모모르피즘으로서 셀머 군의 기하학적 실현을 제공한다.

ABSTRACT

On montre que le groupe de Selmer d'une isog\'enie de hauteur un entre deux vari\'et\'es ab\'eliennes d\'efinies sur le corps de fonctions d'une vari\'et\'e quasi-projective et lisse $V$ sur un corps parfait $k_0$ de caract\'eristique $p>0$ peut \^etre plong\'e dans le groupe des homomorphismes entre deux fibr\'es vectoriels naturels sur $V$. / We show that the Selmer group of an isogeny of height one between two abelian varieties defined on the function field of a smooth and quasi-projective variety $V$ over a perfect field $k_0$ of characteristic $p>0$ can be embedded in the group of homomorphisms between two natural vector bundles on $V$.

연구 동기 및 목표

• 함수체의 양의 특성에서 아벨 다양체 사이의 높이 1 이소ogeny의 셀머 군에 대한 기하학적 실현을 제공하는 것.
• 이 셀머 군이 기저 다양체 V 위의 두 자연스러운 벡터 번들의 호모모르피즘 공간에 단사로 통합됨을 보이는 것.
• 아르틴-밀느 사상에 의한 셀머 군의 이미지가 로그 미분형식의 전역 단면에서 자연스러운 제약 사상의 이미지 안에 놓임을 확립하는 것.
• 2015년 라우스러의 결과를 상대 프로베니우스의 경우에서 일반화하여 임의의 높이 1 이소ogeny로 확장하는 것.
• 셀머 군이 핵의 리 대칭의 쌍대와 정규 교차 분열을 따라 극을 가진 로그 미분형식을 포함하는 호모모르피즘 공간에 통합됨을 증명하는 것.

제안 방법

• 갈루아 코hom로 클래스를 미분형식의 호모모르피즘으로 매핑하는 아르틴-밀느의 자연스러운 단사 호모모르피즘 ΦΓK: H¹(K, ΓK) → HomK(F∗K(ωΓK), ΩK[1]/k₀)를 활용한다.
• 기저 다양체 위의 전역 단면에서 일반화된 섹션으로부터의 자연스러운 제약 사상 ρ: HomV(F∗V(ωΓ), ΩV[1]/k₀(log E)) → Hom(F∗K(ωΓK), ΩK[1]/k₀)를 구성한다.
• ΦΓK와 기저 변경 간의 호환성 결과를 적용하여, 셀머 군에 의한 ΦΓK의 이미지가 ρ의 이미지 안에 있음을 보인다.
• 높이 1 이소ogeny의 합성에 관해 ΦΓK가 호환됨을 이용하여 상대 프로베니우스 이소ogeny의 경우로의 환원을 수행한다.
• 고차원에서의 국소 환과 고차원 점에서의 완비화를 통한 끌어올림 추론을 사용하며, 기저 다양체의 정규성과 에탈로컬 구조에 의존한다.
• 정규 스킴 위의 코herent 층의 사상은 고차원에서의 행동에 의해 결정되며, 정규 스킴 위에서의 확장의 유일성을 이용하여 국소 데이터를 전역 단면으로 끌어올린다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수체의 양의 특성에서 아벨 다양체 사이의 높이 1 이소ogeny의 셀머 군은 기저 다양체 위의 벡터 번들의 호모모르피즘 공간에 통합될 수 있는가?
• RQ2 아르틴-밀느 사상에 의한 셀머 군의 이미지는 로그 미분형식의 전역 단면에서 자연스러운 제약 사상의 이미지 안에 놓이는가?
• RQ3 셀머 군은 핵과 로그 미분형식을 포함하는 벡터 번들의 호모모르피즘을 통해 기하학적으로 실현될 수 있는가?
• RQ4 나쁜 감소의 특이점 집합 E(정규 교차 분열)의 구조는 셀머 군의 통합에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이러한 기하학적 실현에서 A[m](K) ≃ (Z/mZ)²ᵍ라는 가정을 얼마나 약화시키거나 제거할 수 있는가?

주요 결과

• 셀머 군 Sel(K, ιK)은 핵의 리 대칭의 쌍대의 기저에 의한 당김과 기저 다양체 V 위의 로그 미분형식의 층 사이의 호모모르피즘 공간에 자연스럽게 단사로 통합된다.
• 아르틴-밀느 사상 ΦιK에 의한 셀머 군의 이미지는 ΩV[1]/k₀(log E)의 전역 단면에서의 제약 사상 ρ의 이미지 안에 놓인다.
• 곡선의 경우(dim V = 1), 통합은 HomV(F∗V(ωΓ), ΩV[1]/k₀(E))에 놓이며, 여기서 E는 악성 감소의 분열이다.
• 이 통합은 높이 1 이소ogeny의 합성과 호환되며, 상대 프로베니우스의 경우로의 환원을 가능하게 한다.
• 증명은 정규 스킴 위에서의 사상의 확장의 유일성과, 관련된 층들에 대한 토크션의 부재에 기반한다.
• 결과는 기저 다양체 V가 양의 특성의 완전체 위에서 매끄럽고 준사영이며, 악성 감소의 특이점 집합 E가 정규 교차 분열임을 가정할 때 성립한다.