[논문 리뷰] Le groupe des traces de Poisson de la variete quotient h+h*/W en rang 2

Jacques Alev, Loïc Foissy|ArXiv.org|2006. 03. 06.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 랭크 2에서 몫 다양체 $\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*/W$의 제로번째 파아송 호모로지 군 $HP_0$를 계산하여, 그 차원이 해당 웨일 대수의 불변량에 대한 제로번째 호치시ลด 호모로지와 일치함을 보여준다. $\mathfrak{sl}(2)$-모듈의 표현 이론과 플레티즘을 이용한 기법으로, 유형 $A_2$에 대해 $\dim_{\mathbb{C}} HP_0 = 1$, $B_2$에 대해 $2$, $G_2$에 대해 $3$임을 증명하여, 이 경우들에서 $HH_0$와 정확한 일치를 확립한다.

ABSTRACT

Let $V$ be a symplectic space over $\mathbb{C}$, $dim_\mathbb{C} V=2l$, and let $G$ be a finite subgroup of $Sp(V)$. The invariant regular functions $\mathbb{C}[V]^G$ inherit a Poisson algebra structure and so the quotient variety ${\cal X}=V/G$ becomes then an affine algebraic Poisson variety. One can now consider the non commutative deformation of $\cal X$ given by the invariant algebra $A_l(\mathbb{C})^G$, where $A_l(\mathbb{C})$ stands for the Weyl algebra of rank $l$. There exist two families of natural examples of this situation. The first concerns wreath products of a finite subgroup of $SL(2,\mathbb{C})$ with an appropriate symmetric group acting on $(\mathbb{C}^2)^n$; the second family is constructed with a Weyl group $W$ acting on the double of the reflexion representation ${\mathfrak{h}}\oplus {\mathfrak{h}}^*$. A nice result of Berest, Etingof and Ginzburg establishes the finiteness of the dimension of $HP_0({\cal X})= \mathbb{C}[\cal X]/\{\mathbb{C}[\cal X], \mathbb{C}[\cal X]\}$, the Poisson trace group of $\cal X$. The purpose of this work is to compute this dimension in certain cases and in particular to compare it to the dimension of the usual trace group of the above mentioned non commutative deformation. The principal theorem establihed here is : {\bf Theorem.} With the above notations, we have the following equality: $$dim_\mathbb{C} HP_0({\mathfrak{h}\oplus {\mathfrak{h}}^*}/W)=dim_\mathbb{C} HH_0(A_l(\mathbb{C})^W).$$ Moreover, this common dimension is 1 in type $ A_2$, 2 in type $B_2$ and 3 in type $G_2$. We also give examples where the difference of these two dimensions is unbounded.

연구 동기 및 목표

• 랭크 2에서 몫 다양체 $\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*/W$의 제로번째 파아송 호모로지 군 $HP_0$를 계산하는 것.
• 웨일 대수 불변량 $A_l(\mathbb{C})^W$의 제로번째 호치시ลด 호모로지 $HH_0$와 $HP_0$를 비교하는 것.
• 랭크 2 웨일 군의 경우에서 $HP_0$와 $HH_0$의 차원 일치를 확립하여, 좋은 변형 성질을 시사하는 것.
• 도수 2 부분의 불변량에서 유도된 리 대수 $\mathfrak{g}$ 작용 하에서 파아송 대수의 구조와 그 구성 요소를 분석하는 것.
• $HP_0$와 $HH_0$의 차원이 다를 수 있는 경우를 탐색하여, 그 차이가 얼마나 클 수 있는지 분석하는 것.

제안 방법

• 저자들은 불변량의 도수 2 성분에 초점을 맞춰 $\mathbb{C}[\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*]^W$ 위의 파아송 구조를 분석하며, 이 성분이 $\mathfrak{g}$로 작용하는 리 대수를 이룸.
• $HP_0$의 계산을 $\mathbb{C}[\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*]^W$의 자명한 이소형성 성분과 파아송 괄호의 상사와의 교차점으로 환원함.
• 랭크 2 웨일 군의 경우, 리 대수 $\mathfrak{g}$는 $\mathfrak{sl}(2)$와 미분형이며, 플레티즘과 $\mathfrak{sl}(2)$-모듈의 표현 이론을 적용할 수 있음.
• 직접적인 이소형성 성분과 몰리노미얼 기저의 계산에 기반하여, 특히 불변량의 링에서 생성자와 관계식을 사용함.
• $HP_0 \cong R/J$라는 사실을 이용하여, $R$이 불변량의 링이고 $J$가 파아송 괄호에 의해 생성된 아이디얼임을 이용해 $J$의 명시적 생성자를 통해 차원을 계산함.
• 기타 가족, 예를 들어 $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^n$의 경우, $HP_0$와 $HH_0$를 별도로 계산하고 비교하여, $n$이 증가함에 따라 차이가 지수적으로 증가함을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랭크 2에서 몫 다양체 $\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*/W$의 제로번째 파아송 호모로지 군 $HP_0$의 차원은 얼마인가요?
• RQ2 랭크 2의 경우 웨일 대수 불변량에서 $HP_0$와 $HH_0$의 차원이 동일한가요?
• RQ3 파아송 대수 $\mathbb{C}[\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*]^W$는 도수 2 리 대수 $\mathfrak{g}$에 대한 모듈로서 어떻게 구조화되어 있나요?
• RQ4 $HP_0$와 $HH_0$의 차원이 다를 수 있는 경우가 있으며, 그 차이는 얼마나 클 수 있나요?
• RQ5 $\mathbb{C}[\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*]^W$의 파아송 유도 아이디얼은 항상 결합적 양측 아이디얼인가요?

주요 결과

• 유형 $A_2$에 대해 $\dim_{\mathbb{C}} HP_0(\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*/W) = 1$이며, 이는 $HH_0$와 일치한다.
• 유형 $B_2$에 대해 $\dim_{\mathbb{C}} HP_0(\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*/W) = 2$이며, 이는 $HH_0$와 일치한다.
• 유형 $G_2$에 대해 $\dim_{\mathbb{C}} HP_0(\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*/W) = 3$이며, 이는 $HH_0$와 일치한다.
• $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^n$의 경우, $\dim_{\mathbb{C}} HP_0(S^G) = 2^n - 2$ 이고 $\dim_{\mathbb{C}} HH_0(A^G) = \frac{2}{3}(2^{n-1} - (-1)^{n-1})$이며, $n$이 증가함에 따라 차이가 커짐을 보여준다.
• $\dim HP_0 - \dim HH_0$의 차이는 渐近적으로 $\frac{2}{3}(2^n + (-1)^{n-1} - 3)$로 수렴하며, 이는 $n$이 증가함에 따라 무한히 커진다.
• 논문은 파아송 유도 아이디얼이 항상 결합적 아이디얼이 아니라는 점을 규명하였으며, 이는 $B_2$와 $G_2$ 유형에서 반례가 존재하기 때문이다.