[논문 리뷰] Le groupe fondamental d'un espace homogène d'un groupe algébrique linéaire

Mikhail Borovoi, Cyril Demarche|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 06.

Advanced Topics in Algebra인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복소수체 위의 연결 선형 대수군의 동차공간에 대해 그 위상 fundamental group을 대수적으로 정의하고, 그 군이 아벨일 경우, Pic(G)=0 이며 H가 연결 또는 아벨일 조건 하에 G와 H의 특성군을 통해 이를 계산한다. 또한 동일한 특성군 자료를 이용해 대수적으로 닫힌 체의 양의 특성에서 이러한 공간의 p-제외 étale fundamental group을 계산하며, 이는 이전에 재구성군에 대한 대수 fundamental group에 관한 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

Soit X un espace homogène d'un groupe algébrique linéaire connexe G sur C. Soit x un C-point de X. On désigne par H le stabilisateur de x dans G. On montre qu'on peut définir algébriquement le groupe fondamental topologique π_1(X(C),x), si ce groupe fondamental topologique est abélien. Si Pic(G)=0 et H est connexe ou abélien, on calcule π_1(X(C),x) en termes des groupes de caractères de G et H. En outre, si G et X sont définis sur un corps algébriquement clos de caractéristique p quelconque, on calcule la partie première à p du groupe fondamental étale de X en termes des groupes de caractères de G et H (si Pic(G)=0 et H est connexe). Let X be a homogeneous space of a connected linear algebraic group G defined over C. Let x be a C-point of X. We denote by H the stabilizer of x in G. We show that if the topological fundamental group π_1(X(C),x) is abelian, then it can be defined algebraically. If Pic(G)=0 and H is connected or abelian, we compute π_1(X(C),x) in terms of the character groups of G and H. Furthermore, when G and X are defined over an algebraically closed field of arbitrary characteristic p, we compute the prime-to-p étale fundamental group of X in terms of the character groups of G and H (if Pic(G)=0 and H is connected).

연구 동기 및 목표

• 복소수체 위에서 동차공간 X=G/H의 위상 fundamental group이 아벨일 경우, 이를 대수적으로 정의하는 것.
• Pic(G)=0 이며 H가 연결 또는 아벨일 조건 하에 G와 H의 특성군을 통해 π₁^top(X,x)를 계산하는 것.
• G와 X가 양의 특성의 대수적으로 닫힌 체 위에 정의되어 있을 경우, 이 계산을 p-제외 étale fundamental group으로 확장하는 것.
• 선형 대수군과 그 동차공간의 맥락에서 대수적 및 위상적 접근을 통합하는 것.
• 이전에 재구성군에 대한 대수 fundamental group에 관한 결과를 더 일반적인 동차공간으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 표준 생성자 ξ ∈ ℤ(1)=π₁^top(ℂ×,1)를 통해 위상 fundamental group π₁^top(X,x)와 그 변형 π₁^top(X,x)(-1)을 사용한다.
• G_m,1에서 X,x로의 매핑의 상으로서 π₁^top(X,x)(-1) 내의 대수적 원소를 정의하여, π₁^top(X,x)(-1)_alg 라는 부분집합을 형성한다.
• 플라스크 해상과 특성군의 쌍대성 이론을 적용하여 π₁^top(X,x)를 ℤ 위의 Ext 군과 연결한다.
• G와 H의 코어스트럭처 및 특성군의 정확열을 사용하여, Ext^0(⟨Ĝ→Ĥ⟩, ℤ) ⊗ ℤ_(p’) 를 통해 fundamental group을 계산한다.
• Brion과 Szamuely의 p-제외 étale 쌍대 덮개 및 Pic(G)의 구조에 관한 결과를 활용하여, 제시된 조건 하에서 계산이 타당함을 보장한다.
• 최종 결과를 확립하기 위해, p-제외 étale fundamental group과 계수로 ℤ_(p’) 를 갖는 Ext 군 사이의 표준적 동형을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소수체 위에서 동차공간 X=G/H의 위상 fundamental group이 아벨일 경우, 이를 대수적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 Pic(G)=0 이며 H가 연결 또는 아벨일 조건 하에, G와 H의 특성군을 통해 π₁^top(X,x)를 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 G와 X가 양의 특성의 대수적으로 닫힌 체 위에 정의되어 있을 경우, X의 p-제외 étale fundamental group의 구조는 어떠한가?
• RQ4 동일한 조건 하에 G와 H의 특성군이 p-제외 étale fundamental group을 어떻게 결정하는가?
• RQ5 G_m에서 X로의 대수적 매핑과 X의 fundamental group 사이의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 위상 fundamental group π₁^top(X,x)는 아벨일 경우, π₁^top(X,x)(-1) 내의 대수적 원소 부분집합을 통해 대수적으로 정의 가능하다.
• Pic(G)=0 이며 H가 연결 또는 아벨일 조건 하에, π₁^top(X,x)는 Ext^0_ℤ(⟨Ĝ→Ĥ⟩, ℤ) 와 동형이며, 이는 특성군을 통해 계산된다.
• p-제외 étale fundamental group π₁^ét(X,x)^(p') 는 Ext^0_ℤ(⟨Ĝ→Ĥ⟩, ℤ) ⊗ ℤ_(p’) 와 표준적으로 동형이며, G와 H의 특성군을 통해 계산된다.
• 기저 임베딩 j:H^tor → Q 의 선택과 무관하게 fundamental group 계산이 이루어지므로 결과는 표준적이다.
• 플라스크 해상과 쌍대성에 관여하는 교환도형을 통해 fundamental group과 Ext 군 사이의 동형이 확립된다.
• 이 결과는 이전에 재구성군에 대한 대수 fundamental group에 관한 연구를 연결 또는 아벨 안정자군을 갖는 임의의 동차공간으로 일반화한다.