[논문 리뷰] Leaky Forcing: A New Variation of Zero Forcing

Shannon Dillman, Franklin Kenter|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 01.

Gene Regulatory Network Analysis참고 문헌 7인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 그래프에 $ι$ 리스크(리스크)가 존재하는 새로운 제로 포스팅 변종인 $ι$-포스팅을 소개한다. 리스크는 단일 노드에 연결된 추가적인 정점으로, 해당 노드가 포스팅을 수행하는 것을 방지한다. 목표는 어떤 $ι$ 리스크가 존재하더라도 전체 그래프를 칠할 수 있는 최소의 초기 색칠된 정점 집합을 찾는 것이다. 주요 결과로는 경로, 사이클, 휠, 격자 그래프에 대한 정확한 $ι$-포스팅 수를 도출하였으며, 추가된 간선이 리스크에 대한 저항력을 높일 수 있다는 놀라운 발견을 하였다.

ABSTRACT

Zero forcing is a one-player game played on a graph. The player chooses some set of vertices to color, then iteratively applies a color change rule: If all but one of a colored vertex's neighbors are colored, color (i.e. "force") the remaining uncolored neighbor. Generally, the goal is to find the minimum number of vertices to initially color such that all vertices eventually become colored. Recently, equivalent formations of zero forcing have been developed in different settings including sensor allocation to solve linear systems (K.-Lin 2018), controllability in follower-leader dynamics (Monshizadeh-Zhang-Camlibel 2014), and edge covering in specific hypergraphs (Brimkov-Fast-Hicks 2016). While many variations of zero forcing are motivated by an associated minimum rank problem, these new formulations give new inspiration for new meaningful zero forcing variants. In our case, we study a new variation based on the linear algebraic interpretation mentioned above. In particular, what if there is a juncture in a network that has a leak, and, hence, is unreliable to facilitate solving a linear system on the network? In the context of zero forcing this corresponds to the following variation we call $\ell$-forcing: Given $\ell$, find a set of vertices such that for any set of $\ell$ vertices that are unable to force, all vertices will still be colored. We compute the $\ell$-forcing number for selected families of graphs including grid graphs. Perhaps surprisingly, we find examples where additional edges make the graph more "resilient" to these leaks. Further, we also implement known computational methods for our new leaky forcing variation.

연구 동기 및 목표

• 네트워크 내에서 신뢰할 수 없는 노드(리스크)를 고려한 새로운 제로 포스팅 변종인 $ι$-포스팅을 정의하고 공식화하기.
• 어떤 $ι$ 리스크가 존재하더라도 전체 정점들을 포스팅할 수 있는 최소 크기의 초기 정점 집합을 결정하기.
• 경로, 사이클, 휠, 카르테시안 곱을 포함한 특정 그래프 가족에 대해 $ι$-포스팅 수 $Z_{(ι)}(G)$ 를 계산하기.
• 일반적인 유한 연결 그래프에 대해 $Z_{(ι)}(G)$ 를 정확히 계산하기 위한 정수계획법 알고리즘 개발 및 구현하기.
• 예를 들어, 간선을 추가했을 때 리스크에 대한 저항력이 향상되는지 등의 구조적 통찰을 탐색하기.

제안 방법

• 리스크를 기존 그래프의 정점에 단일 간선으로 연결된 새로운 정점으로 정의하며, 이 정점은 포스팅에 참여할 수 없다.
• 모든 $ι$ 개의 정점(리스크)이 포스팅을 수행하지 못할 수 있지만, 그래프 전체가 여전히 색칠되어야 하는 $ι$-포스팅을 도입한다.
• 포스팅이 불가능한 최소의 정점 집합(모든 정점이 초기에 색칠되어야만 포스팅이 가능한 집합)인 '포트(forts)'의 개념을 사용하여 정수계획법의 제약 조건을 모델링한다.
• 모든 가능한 $ι$ 리스크 집합에 대해 전체 포스팅이 가능하도록 보장하면서 초기 포스팅 집합의 크기를 최소화하는 정수계획법을 구성한다.
• 각 해가 $ι$ 리스크 하에서 실패할 경우, 미색이 된 정점에서 새로운 포트를 생성하여 정수계획법을 반복적으로 개선한다.
• 필수 정점에 대해 최소 포트에서 시작하여, 동적으로 새로운 포트를 추가함으로써 모든 $ι$-리스크 구성에 대해 강건성을 확보하는 알고리즘을 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 $ι$ 개의 정점이 포스팅 기능을 수행하지 못하더라도 전체 그래프를 포스팅할 수 있는 최소 크기의 초기 정점 집합은 얼마인가요?
• RQ2 경로, 사이클, 휠, 격자 그래프와 같은 다양한 그래프 가족에서 $ι$-포스팅 수 $Z_{(ι)}(G)$ 는 어떻게 행동합니까?
• RQ3 그래프에 간선을 추가하면 포스팅 과정에서 리스크에 대한 저항력이 향상될 수 있으며, 만약 그렇다면 어떤 조건에서 그러한 현상이 발생합니까?
• RQ4 격자 그래프 $P_n \Box P_m$ 의 $1$-포스팅 수에 대한 일반적인 패턴이 존재하는가, 그리고 모든 $n, m$ 에 대해 $Z_{(1)}(P_n \Box P_m) = \min(m, 2n)$ 이 성립하는가?
• RQ5 제안된 정수계획법 및 알고리즘 접근 방식은 크기와 구조가 다양한 그래프에 대해 $Z_{(ι)}(G)$ 를 계산하는 데 얼마나 효율적인가?

주요 결과

• 경로 $P_n$ 의 $1$-포스팅 수는 $1$이며, 사이클 $C_n$ 의 경우 $2$이며, 이러한 모든 가정에 대해 정확한 값을 도출하였다.
• 격자 그래프 $P_m \Box P_m$ 에서 $1$-포스팅 수는 $m = 3, 4, 5, 6$ 일 때 정확히 $m$ 이며, 크기가 커질수록 실행 시간이 크게 증가한다.
• 휠 그래프 $W_n$ 의 $1$-포스팅 수는 $n \geq 4$ 일 때 $2$ 이며, 이는 단일 리스크에 대한 높은 저항력을 나타낸다.
• 놀랍게도, 특정 그래프 가정에서 간선을 추가하면 리스크에 대한 저항력이 향상될 수 있다.
• 동적 포트 생성을 통한 정수계획법 접근 방식은 $Z_{(ι)}(G)$ 를 성공적으로 계산하였으며, 그래프 크기가 커질수록 실행 시간이 급격히 증가하여 $P_6 \Box P_6$ 에서 한 리스크가 존재할 경우 1,000 초 이상 소요되었다.
• 한 개의 리스크가 존재하는 삼각형 그래프의 경우, 실행 시간은 약 75초에서 약 1,050초 사이였으며, 더 높은 제로 포스팅 수를 가진 그래프일수록 계산 시간이 더 길었다.