[논문 리뷰] Learnability of the output distributions of local quantum circuits

Marcel Hinsche, Marios Ioannou외 7명|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소 양자 회로의 출력 분포의 학습 가능성에 대해 조사하며, 클리포드 회로가 초대수적 깊이를 가질 경우 통계적 질의를 통한 효율적 학습이 불가능함을 보여주지만(이 경우 양자적 우월성이 없음), 직접 샘플 액세스가 주어지면 고전적 학습자가 이를 효율적으로 학습할 수 있음을 밝힌다. 본 연구는 확률적 모델링 관점에서 양자 회로 본-기반 기계학습 모델에 대한 첫 번째 엄밀한 분석을 제공한다.

ABSTRACT

There is currently a large interest in understanding the potential advantages quantum devices can offer for probabilistic modelling. In this work we investigate, within two different oracle models, the probably approximately correct (PAC) learnability of quantum circuit Born machines, i.e., the output distributions of local quantum circuits. We first show a negative result, namely, that the output distributions of super-logarithmic depth Clifford circuits are not sample-efficiently learnable in the statistical query model, i.e., when given query access to empirical expectation values of bounded functions over the sample space. This immediately implies the hardness, for both quantum and classical algorithms, of learning from statistical queries the output distributions of local quantum circuits using any gate set which includes the Clifford group. As many practical generative modelling algorithms use statistical queries -- including those for training quantum circuit Born machines -- our result is broadly applicable and strongly limits the possibility of a meaningful quantum advantage for learning the output distributions of local quantum circuits. As a positive result, we show that in a more powerful oracle model, namely when directly given access to samples, the output distributions of local Clifford circuits are computationally efficiently PAC learnable by a classical learner. Our results are equally applicable to the problems of learning an algorithm for generating samples from the target distribution (generative modelling) and learning an algorithm for evaluating its probabilities (density modelling). They provide the first rigorous insights into the learnability of output distributions of local quantum circuits from the probabilistic modelling perspective.

연구 동기 및 목표

• 국소 양자 회로의 출력 분포가 확률적 모델링 기법을 통해 효율적으로 학습될 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 양자 회로 본-기반 기계학습 모델 기반 생성 모델링 작업에서의 양자적 우월성 잠재력을 평가하는 것.
• 특히 통계적 질의 액세스 모델과 직접 샘플 액세스 모델을 비교하여 이러한 분포의 학습 가능성 평가.
• 이러한 분포에 대한 고전적 및 양자 학습 알고리즘의 이론적 한계 설정.
• 근접한 양자 장치를 활용한 생성 모델링을 위한 양자 기계학습의 가능성에 대한 기초 통찰 제공.

제안 방법

• 통계적 질의 모델과 직접 샘플 액세스 모델을 고려한 양자 회로 본-기반 기계학습 모델의 확률적 근사적 학습 가능성(PAC) 분석.
• 초대수적 깊이를 가진 클리포드 회로의 출력 분포가 샘플 공간 위에서 유계 함수를 사용한 통계적 질의 모델에서 샘플 효율적으로 학습될 수 없다는 것을 증명.
• 더 강력한 직접 샘플 액세스 모델에서는 고전적 학습자가 국소 클리포드 회로의 출력 분포를 효율적으로 PAC-학습할 수 있음을 보여줌.
• 유한체 선형 대수학 도구를 활용하여, 하위공간 복구에 대한 확률적 한계를 설정함. 특히 랜덤 이진 행렬이 최대 열 질량을 가지는 확률을 고려.
• k개의 벡터를 샘플링하고 기준 샘플과 XOR을 통해 아핀 부분공간으로 변환한 후 가우스 소거법을 적용하여 기저를 복구하는 아핀 부분공간 복구 알고리즘 사용.
• 집중도 한계 및 확률 부등식을 적용하여, k = n + ⌈log(1/δ)⌉개의 샘플이 존재할 경우 확률 적어도 1−δ로 하위공간을 복구할 수 있음을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 양자 회로의 출력 분포는 통계적 질의 액세스를 통해 효율적으로 학습될 수 있는가?
• RQ2 양자 또는 고전적 알고리즘을 통해 국소 양자 회로의 출력 분포를 학습할 때 어떤 양자적 우월성이 존재하는가?
• RQ3 어떤 조건에서 고전적 학습자가 국소 클리포드 회로의 출력 분포를 효율적으로 학습할 수 있는가?
• RQ4 양자 회로의 깊이가 통계적 질의 모델에서 출력 분포의 학습 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 양자 회로 출력 분포의 지지 집합을 신뢰성 있게 재구성하기 위해 필요한 최소 샘플 수는 얼마인가?

주요 결과

• 초대수적 깊이를 가진 클리포드 회로의 출력 분포는 통계적 질의 모델에서 샘플 효율적으로 학습될 수 없으며, 이는 유계 함수의 경험 기대값을 활용하는 모든 학습 알고리즘이 이러한 분포를 효율적으로 학습할 수 없다는 것을 의미한다.
• 이 결과는 실용적인 생성 모델링 알고리즘에서 흔히 사용되는 통계적 질의를 기반으로 한 학습에서 고전적 알고리즘과 양자 알고리즘이 근본적인 어려움을 겪는다는 것을 시사한다.
• 반대로, 직접 샘플 액세스가 가능한 경우, 국소 클리포드 회로의 출력 분포는 고전적 학습자가 계산적으로 효율적으로 PAC-학습할 수 있다.
• 고전적 PAC 학습에 필요한 샘플 복잡도는 O(n + log(1/δ))이며, 여기서 n은 큐비트 수이고 δ는 실패 확률이다.
• 확률 적어도 1−δ로, k = n + ⌈log(1/δ)⌉개의 샘플이 존재할 경우 출력 분포의 아핀 부분공간 구조를 복구하는 데 충분하다.
• 결과는 생성 모델링(샘플링을 학습하는 것)과 밀도 모델링(확률을 평가하는 것)에 동일하게 적용되며, 양자 회로 본-기반 기계학습 모델에 대한 통합된 이론적 기반을 제공한다.