[논문 리뷰] Learning Constrained Dynamics with Gauss Principle adhering Gaussian Processes

A. René Geist, Sebastian Trimpe|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 23.

Gaussian Processes and Bayesian Inference참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 기계적 제약 조건—비이deal한 유효 및 비유효 제약 조건을 포함하여—을 GP의 평균 및 공분산 구조에 통합하여 예측이 본질적으로 가우스의 최소제약 원리에 부합하도록 보장하는 가우스 원리 준수 가우시안 프로세스(GP²)를 제안한다. 이 방법은 제약 조건이 있는 라그랑주 역학의 학습에서 데이터 효율성과 제약 조건의 무결성을 향상시키며, 표준 GP에 비해 정확도와 제약 조건 이행성 측면에서 뚜렷한 성능 향상을 보였다.

ABSTRACT

The identification of the constrained dynamics of mechanical systems is often challenging. Learning methods promise to ease an analytical analysis, but require considerable amounts of data for training. We propose to combine insights from analytical mechanics with Gaussian process regression to improve the model's data efficiency and constraint integrity. The result is a Gaussian process model that incorporates a priori constraint knowledge such that its predictions adhere to Gauss' principle of least constraint. In return, predictions of the system's acceleration naturally respect potentially non-ideal (non-)holonomic equality constraints. As corollary results, our model enables to infer the acceleration of the unconstrained system from data of the constrained system and enables knowledge transfer between differing constraint configurations.

연구 동기 및 목표

• 제약 조건이 있는 기계적 역학의 학습에서 데이터 효율성과 제약 조건의 무결성을 향상시키기.
• 비이deal한 (비)유효 제약 조건과 질량 행렬에 대한 사전 지식을 GP 프레임워크에 통합하기.
• 예측된 가속도가 가우스의 최소제약 원리에 엄격히 부합하도록 보장하기.
• 다른 제약 조건 구성 간 지식 전이를 가능하게 하고, 제약 조건이 있는 데이터로부터 비제약 조건 역학을 추론하기.

제안 방법

• 표준 GP를 Udwadia-Kalaba 방정식을 사용해 변형하여, 가우스 원리를 통한 제약 조건 이행을 강제한다.
• GP의 평균 함수는 제약 조건 방정식가 정의한 가속도 공간의 물리적으로 타당한 부분공간으로 예측를 투영하도록 설계된다.
• 공분산 함수는 제약 조건 다양체를 존중하면서도 불확실성 구조를 유지하도록 설계된다.
• 모델은 진동수, 관성 등 체계적 매개변수를 하이퍼파rameter로 포함하여 공동 학습 및 전이를 가능하게 한다.
• GP 출력의 선형 변환을 통해 모든 예측이 제약 조건 방정식 $ A\ddot{q} = b $ 를 정확히 충족하도록 보장한다.
• 잔여 가속도 $ \bar{a} $ 를 활용하여 제약 조건이 있는 데이터로부터 비제약 조건 역학을 추론할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GP 모델을 어떻게 구성하면 비이deal한 (비)유효 제약 조건과 같은 기계적 제약 조건을 본질적으로 충족할 수 있는가?
• RQ2 GP 사전 분포에 가우스 원리를 통합하면 제약 조건이 있는 역학에서 데이터 효율성과 예측 정확도가 어떻게 향상되는가?
• RQ3 모델은 제약 조건이 있는 데이터로부터 비제약 조건 역학을 추론할 수 있는가?
• RQ4 다른 제약 조건 구성 간 지식 전이의 정도는 어느 정도인가?
• RQ5 모델은 제약 조건의 무결성을 유지하면서 외삽 및 궤도 예측에서 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• GP²는 표준 GP에 비해 제약 조건 위반 오차가 유의미하게 낮았으며, 평균 제약 조건 오차는 표준 GP의 $ 0.08 $ 대비 $ 3 \cdot 10^{-8} $ 로 측정되었다.
• 카트 위의 진자 시스템에서 GP²는 예측 오차를 $ 0.023 \pm 0.032 $ 로 줄였고, 표준 GP의 $ 0.08 \pm 0.15 $ 와 비교해 뛰어난 성능을 보였다.
• 시스템 매개변수 $ \theta_p $ 를 추정할 때 GP²는 높은 제약 조건 이행성을 유지하였으며, 제약 조건 오차는 $ 9 \cdot 10^{-13} $ 로 측정되었다.
• 표면 위에서 외삽 예측을 수행한 결과, 학습 데이터를 초월함에도 불구하고 제약 조건 이행성을 유지하였다.
• GP²를 사용한 궤도 예측은 제약 조건 표면에 머물렀지만, 표준 GP 기반의 ODE 해법기는 벗어나는 경향을 보였다.
• 공유된 $ \bar{a} $ 항 덕분에 서로 다른 제약 조건 표면 간 지식 전이가 가능해져, 다양한 구성 간 역학 지식 전이가 이루어졌다.