[논문 리뷰] Learning control for polynomial systems using sum of squares relaxations

Meichen Guo, Claudio De Persis외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 02.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 25인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 시스템 식별 없이 입력-출력 데이터로부터 직접 안정화 상태에 의존하는 제어 법칙을 학습하는 연속시간 다항식 시스템을 위한 데이터 기반 제어 설계 방법을 제안한다. 합의의 제곱(SOS) 최적화와 헤키안 행렬을 통한 데이터 기반 표현을 활용하여, 안정화 제어 이득을 실험 데이터로부터 유일하게 유도된 SOS 프로그램의 해로 정식화함으로써 계산 가능성을 확보하고 원점의 전역 안정성 보장을 보장한다.

ABSTRACT

This paper considers the problem of learning control laws for nonlinear polynomial systems directly from the data, which are input-output measurements collected in an experiment over a finite time period. Without explicitly identifying the system dynamics, stabilizing laws are directly designed for nonlinear polynomial systems using experimental data alone. By using data-based sum of square programming, the stabilizing state-dependent control gains can be constructed.

연구 동기 및 목표

• 진정한 동역학이 알려져 있지 않은 비선형 다항식 시스템을 제어하는 데 도전하는 것.
• 일반적으로 계산 비용이 많이 들고 실용적이지 않은 전통적인 비선형 시스템 식별 기법의 한계를 극복하는 것.
• 명시적 시스템 식별을 회피하면서도 닫힌 루프 안정성을 보장하는 데이터 기반 제어 합성 방법을 개발하는 것.
• 단일 실험에서 수집된 유한 시간 입력-출력 측정값만을 사용하여 안정화 제어 법칙을 직접 계산할 수 있도록 하는 것.
• 데이터 전용 표현에 적용된 합의의 제곱(SOS) 프로그래밍을 통해 비선형 제어 설계를 위한 계산 가능성을 확보하는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 입력, 출력 및 상태 도함수 측정값의 헤키안 행렬로부터 유도된 데이터 기반 모델을 사용하여 시스템 동역학을 표현하는 것.
• 닫힌 루프 시스템 동역학을 $ \dot{x} = X_{1,T} G(x) Z(x) $ 로 정식화하며, 여기서 $ G(x) $ 는 $ \mathcal{Z}_{0,T} G(x) = I_N $ 를 만족하도록 데이터로부터 구성된다.
• 상태 피드백 제어 법칙 $ u = F(x) Z(x) $ 를 설계하며, 여기서 $ F(x) = U_{0,1,T} G(x) $ 로 정의되어 제어 이득이 데이터에 의존하도록 보장한다.
• 합의의 제곱(SOS) 최적화를 사용하여 정의가 양이며 도함수가 음의 정의인 리아푸노프 함수 후보를 구성하는 것.
• 다항식 행렬을 포함하는 SOS 프로그램으로 안정성 조건을 정식화하며, 이는 준선형계획법(SDP)을 통해 해결할 수 있다.
• SOS 분해를 사용하여 리아푸노프 함수의 도함수가 음의 준정의임을 확인함으로써, 결과적으로 제어 법칙이 원점을 안정화함을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시스템 식별 없이 입력-출력 데이터로부터 직접 연속시간 다항식 시스템의 안정화 제어 법칙을 학습할 수 있는가?
• RQ2 유한한 실험 데이터만을 사용하여 전역 점근적 안정성을 보장하는 데이터 기반 제어 설계 방법을 정식화할 수 있는가?
• RQ3 합의의 제곱(SOS) 최적화는 데이터 기반 시스템 표현과 효과적으로 조합되어 계산 가능성을 확보하는 제어 합성에 기여할 수 있는가?
• RQ4 제안된 데이터 기반 SOS 프레임워크를 통해 안정화 제어 법칙의 존재를 보장하는 데 필요한 데이터 조건는 무엇인가?
• RQ5 시스템의 상태 단항식 벡터 $ Z(x) $ 의 구조는 비선형 다항식 맥락에서 선형 제어 설계를 모방하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 단일 개방 루프 실험에서 수집된 입력-출력 데이터만을 사용하여 다항식 시스템의 안정화 제어 법칙을 직접 설계할 수 있도록 한다.
• 제어 법칙은 $ u = F(x)Z(x) $ 로 구성되며, 여기서 $ F(x) $ 는 $ \mathcal{Z}_{0,T} G(x) = I_N $ 를 만족하는 행렬 $ G(x) $ 를 통해 데이터로부터 유도되어 데이터 일관성을 보장한다.
• 리아푸노프 함수의 도함수가 합의의 제곱으로 표현되도록 구성되어 원점의 전역 점근적 안정성이 보장된다.
• 설계 문제는 준선형계획법(SDP)을 통해 볼록 최적화 문제로 변환되어 계산 가능성이 확보된다.
• 시스템 식별 및 반복 학습을 피함으로써, 안정화를 위한 단일 스텝 데이터 기반 솔루션을 제공한다.
• 수치 예제를 통한 검증을 통해 오직 실험 데이터와 SOS 프로그래밍만을 사용하여 비선형 다항식 시스템이 성공적으로 안정화되었음을 보여준다.