[논문 리뷰] Learning Feynman Diagrams with Tensor Trains

Y. Núñez-Fernández, Matthieu Jeannin외 5명|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 13.

Quantum, superfluid, helium dynamics인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 양자 다체계에서 고차원 피네만 다이어그램 전개를 초고정도 및 초고속으로 계산하기 위해 텐서 트레일 기반 방법을 도입한다. 텐서 크로스 보간(TCI)을 사용하여 모든 다이어그램의 합을 압축된 텐서 트레일로 표현함으로써, 실시간 비평형 상황에서 고차원적이고 진동하는 적분을 효율적으로 평가할 수 있다. 이 방법은 다이어그램 기반 양자 몬테카를로(QMC)보다 정확도와 수렴 속도에서 수개의 차수를 뛰어넘는 성능을 보인다(1/N² 또는 그 이상).

ABSTRACT

We use tensor network techniques to obtain high order perturbative diagrammatic expansions for the quantum many-body problem at very high precision. The approach is based on a tensor train parsimonious representation of the sum of all Feynman diagrams, obtained in a controlled and accurate way with the tensor cross interpolation algorithm. It yields the full time evolution of physical quantities in the presence of any arbitrary time dependent interaction. Our benchmarks on the Anderson quantum impurity problem, within the real time non-equilibrium Schwinger-Keldysh formalism, demonstrate that this technique supersedes diagrammatic Quantum Monte Carlo by orders of magnitude in precision and speed, with convergence rates $1/N^2$ or faster, where N is the number of function evaluations. The method also works in parameter regimes characterized by strongly oscillatory integrals in high dimension, which suffer from a catastrophic sign problem in Quantum Monte-Carlo. Finally, we also present two exploratory studies showing that the technique generalizes to more complex situations: a double quantum dot and a single impurity embedded in a two dimensional lattice.

연구 동기 및 목표

• 실시간 비평형 양자 시스템에서 흔히 발생하는 고차원적이고 진동하는 적분에서 발생하는 부호 문제와 느린 수렴 문제를 해결하기 위해.
• 양자 다체 이론에서 고차원 섭동 전개를 계산하기 위한 확률적 샘플링 기반 기법의 대안으로서 결정론적이고 고정도인 방법을 개발하기 위해.
• 임의의 시간에 의존하는 상호작용이 존재하는 상황에서도 시간에 따라 변화하는 물리적 양을 정확하게 계산할 수 있도록, 간결한 텐서 네트워크 표현을 제공하기 위해.
• 기존 몬테카를로 기법이 실패하는 강한 상관관계와 진동성이 높은 영역에서 이 방법의 효과성을 입증하기 위해.
• 변분 파동함수 근사에 국한되지 않고, 장 이론에서 다이어그램 합의 직접 표현이 가능한 텐서 네트워크 기법의 적용 범위를 확장하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 모든 피네만 다이어그램의 합을 낮은 랭크 텐서 트레일(TT) 표현으로 구성하기 위해 텐서 크로스 보간(TCI)을 사용한다. 이를 통해 고차원 적분의 효율적 계산이 가능해진다.
• TT 형식은 시간 변수에 대한 n차원 적분을 일련의 일차원 적분으로 분해함으로써 계산 복잡도를 극적으로 감소시킨다.
• 비상호작용 그린 함수의 구조를 활용하여 $\tilde{q}_n(\omega)$와 같은 핵심 성분을 사전에 계산하고 보간함으로써, 다양한 시간 평가에서 재사용할 수 있도록 한다.
• 고차원에서 급격히 진동하는 적분을 위해, $v > v_{\text{cut}}$ 인 경우 형태 $T_\alpha(v) \approx \sum_{p,n} \left( a_{pn} \frac{\cos(4pv)}{v^n} + b_{pn} \frac{\sin(4pv)}{v^n} \right)$ 의 渐近 전개를 사용하는 특수한 구적 법칙을 개발하였다.
• 표준 가우스-레지오드 구적법은 $[0, v_{\text{cut}}]$ 에서 사용하고, 진동하는 尾部 $[v_{\text{cut}}, \infty)$ 에는 펌프된 크로스 보간 기반의 맞춤형 노드 구적법을 조합하는 하이브리드 구적법을 사용하여 안정성과 정확도를 확보하였다.
• 주어진 적분과 진동하는 적분은 적응형 구적법과 특수 함수(예: $E_n(z)$)를 위한 전용 라이브러리를 활용하여 계산함으로써 수치적 안정성을 확보하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 텐서 네트워크 기법, 특히 TCI를 통한 텐서 트레일을 사용하여 다이어그램 기반 양자 몬테카를로보다 더 높은 정확도와 더 빠른 수렴 속도로 고차원 피네만 다이어그램 전개를 계산할 수 있는가?
• RQ2 부호 문제가 몬테카를로 기법에 영향을 미치는 강한 진동성을 띤 적분 영역에서 이 방법의 성능은 어떠한가?
• RQ3 텐서 트레일 표현이 실시간 비평형 양자 다체 문제에서 발생하는 고차원적이고 다스케일성 적분의 구조를 효과적으로 포착할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 더 복잡한 시스템, 예를 들어 이중 양자 도트나 이중 격자 내 단일 불순성 등으로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 함수 평가 횟수에 따른 이 방법의 수렴 행동은 어떠한가? 그리고 $1/\sqrt{N}$ 이하의 스케일보다 더 빠른가?

주요 결과

• 이 방법은 $N$이 함수 평가 횟수일 때 $1/N^2$ 또는 그 이상의 수렴 속도를 달성하여, 다이어그램 기반 양자 몬테카를로의 $1/\sqrt{N}$ 스케일보다 수개의 차수를 뛰어넘는 성능을 보였다.
• 이 방법은 부호 문제가 발생하여 다이어그램 기반 몬테카를로가 실패하는 강한 진동성 있는 적분 영역에서도 물리적 양을 성공적으로 계산하였다.
• 실시간 쇼윙거켈디시 형식 기반 앤더슨 양자 불순성 모델에 대한 벤치마크에서, 정밀도와 속도 면에서 다이어그램 기반 양자 몬테카를로를 수개의 차수 뛰어넘는 성능을 보였다.
• 텐서 트레일 표현은 $\tilde{q}_n(\omega)$와 같은 중간 함수를 사전 계산할 수 있게 하여, 임의의 시간 $t$에 대해 전체 시간 진동 $Q_n(t)$ 를 단일 일차원 적분으로 효율적으로 평가할 수 있도록 하였다.
• 이중 격자 케이스에서는 $T_\alpha(v)$ 의 渐近 전개를 기반으로 한 맞춤형 구적법을 사용하여 오직 78개의 구적 노드로도 2~3자리 정확도를 달성하였다.
• 펌프된 크로스 보간을 통한 노드 선택은 매우 진동성이 높고 천천히 감쇠하는 함수에서도 수치적 안정성을 보장하였다.