[논문 리뷰] Learning quantum states and unitaries of bounded gate complexity

Haimeng Zhao, L. H. Lewis외 4명|arXiv (Cornell University)|2023. 10. 30.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 게이트 복잡도가 $ G $ 이하인 양자 상태와 유니터리 연산을 샘플 및 쿼리 복잡도가 $ G $에 선형적으로 스케일링되도록 학습시킬 수 있음을 입증한다. 이는 데이터 요구량 측면에서 학습을 효율적으로 만든다. 그러나 표준 암호학적 가정 하에, 이러한 상태와 유니터리 연산을 학습하는 데 필요한 계산 복잡도는 $ G $에 대해 지수적으로 증가하므로, 데이터 효율성과 계산 난이도 사이에 본질적인 트레이드오프가 존재함을 드러낸다.

ABSTRACT

While quantum state tomography is notoriously hard, most states hold little interest to practically-minded tomographers. Given that states and unitaries appearing in Nature are of bounded gate complexity, it is natural to ask if efficient learning becomes possible. In this work, we prove that to learn a state generated by a quantum circuit with $G$ two-qubit gates to a small trace distance, a sample complexity scaling linearly in $G$ is necessary and sufficient. We also prove that the optimal query complexity to learn a unitary generated by $G$ gates to a small average-case error scales linearly in $G$. While sample-efficient learning can be achieved, we show that under reasonable cryptographic conjectures, the computational complexity for learning states and unitaries of gate complexity $G$ must scale exponentially in $G$. We illustrate how these results establish fundamental limitations on the expressivity of quantum machine learning models and provide new perspectives on no-free-lunch theorems in unitary learning. Together, our results answer how the complexity of learning quantum states and unitaries relate to the complexity of creating these states and unitaries.

연구 동기 및 목표

• 대부분의 자연 상태가 제한된 회로 깊이로 물리적으로 실현 가능하므로, 게이트 복잡도가 $ G $ 이하인 양자 상태와 유니터리 연산이 효율적으로 학습 가능한지 확인하는 것.
• 트레이스 거리 및 평균 케이스 오차 측도 하에서, 양자 상태와 유니터리 연산을 학습하는 데 필요한 샘플 및 쿼리 복잡도의 날카운 복잡도 한계를 설정하는 것.
• 특히 암호학적 난이도 가정 하에, 복잡도가 제한된 양자 상태와 유니터리 연산을 학습하는 데 필요한 계산 복잡도를 조사하는 것.
• 평균 케이스 학습과 최악 케이스 학습 간의 차이를 명확히 하여, 쿼리 복잡도 측면에서 지수적 분리가 존재함을 보여주는 것.
• 양자 기계학습 모델과 양자 과정 학습의 무자산 정리에 대한 함의를 탐색하는 것.

제안 방법

• 순수한 양자 상태를 $ G $ 개의 두 큐비트 게이트로 생성하는 데 성공한 학습 알고리즘을 제안하며, 이는 $ O(G) $ 개의 샘플(로그 요소를 제외한)을 사용해 트레이스 거리 $ ilde{O}(rac{1}{ ext{poly}(G)}) $ 수준의 정확도를 달성한다.
• 유니터리 연산을 $ G $ 개의 두 큐비트 게이트로 구성된 쿼리 기반 알고리즘을 제안하며, 평균 케이스 오차 $ ilde{O}(rac{1}{ ext{poly}(G)}) $ 수준에서 $ O(G) $ 쿼리가 필요하다.
• 유니터리 $ t $-디자인과 메트릭 엔트로피 이론의 도구를 활용해, $ G $-게이트 브릭워크 회로 내에서 구별 가능한 유니터리의 수에 대한 하한을 도출한다.
• 마르코프 부등식과 근사 유니터리 $ t $-디자인의 모멘트 한계를 사용해, $ G $-게이트 회로의 메트릭 엔트로피가 $ ilde{ heta}(tn) $ 임을 보여주며, 여기서 $ t $ 는 디자인 순서이다.
• 확률적 구성 기법을 적용해, $ M riangleq ilde{ heta}(rac{1}{ ext{poly}(t)}) $ 개의 유니터리 집합을 구성할 수 있음을 보이며, 이들 간의 쌍별 프로베니우스 거리는 아래로 제한되어 있음을 보여, 메트릭 엔트로피의 하한을 확립한다.
• 다이아몬드 거리(최악 케이스)에서 유니터리 연산을 학습하는 데에는 $ G $에 대해 지수적으로 많은 쿼리가 필요하며, 이는 최악 케이스와 평균 케이스 학습 간에 지수적 분리를 확립한다.

Figure 1: (a)-(c) Schematic overview of the learning models in this work. (a) Learning quantum states with bounded circuit complexity $G$ . (b) Learning unitaries with bounded circuit complexity $G$ . (c) Learning classical functions from quantum experiments with bounded circuit complexity $G$ . (d)

실험 결과

연구 질문

• RQ1 게이트 복잡도가 $ G $ 이하인 양자 상태와 유니터리 연산을 샘플/쿼리 복잡도가 $ G $에 선형적으로 스케일링되도록 학습할 수 있는가?
• RQ2 복잡도가 제한된 양자 상태와 유니터리 연산을 학습할 때, 샘플/쿼리 복잡도와 계산 복잡도 사이의 최적 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ3 쿼리 복잡도 측면에서 평균 케이스 학습과 최악 케이스 학습 간에 지수적 분리가 존재하는가?
• RQ4 Ring-LWE와 같은 암호학적 가정 하에, 복잡도가 제한된 양자 상태와 유니터리 연산을 학습하는 데 필요한 계산 난이도는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 학습 가능한 양자 과정의 복잡도로 인해, 양자 기계학습 모델의 표현력에 대한 본질적 한계는 무엇인가?

주요 결과

• 트레이스 거리 $ ilde{O}(rac{1}{ ext{poly}(G)}) $ 수준에서 $ G $-게이트 양자 상태를 학습하는 데 필요한 샘플 복잡도는 $ O(G) $ 이며, 이는 로그 요소를 제외한 최적의 복잡도이며, 이 한계는 날카롭다.
• 평균 케이스 오차 $ ilde{O}(rac{1}{ ext{poly}(G)}) $ 수준에서 $ G $-게이트 유니터리 연산을 학습하는 데 필요한 쿼리 복잡도는 $ G $에 대해 선형적으로 스케일링되며, 이는 로그 요소를 제외한 최적이다.
• 다이아몬드 거리(최악 케이스)에서 유니터리 연산을 학습하는 데에는 $ G $에 대해 지수적으로 많은 쿼리가 필요하며, 이는 최악 케이스와 평균 케이스 학습 간에 지수적 분리를 확립한다.
• 양자 지수적 난이도를 가진 Ring-Learning-with-Errors (RingLWE) 가정 하에, $ ilde{O}(G) $ 개의 샘플로 $ G $-게이트 상태나 유니터리 연산을 학습하는 데 필요한 모든 양자 알고리즘은 $ G $에 대해 지수적으로 증가하는 시간이 걸려야 한다.
• 계산 난이도의 계절 전이 현상은 $ G riangleq ilde{ heta}( ext{poly}( ext{polylog}(n))) $ 에서 발생하며, 이는 $ G = O( ext{polylog}(n)) $ 일 때에만 $ ext{poly}(n) $ 시간 알고리즘이 존재함을 의미하며, 이는 지수적 샘플 복잡도가 작동하기 시작하기 이전의 날카로운 임계점임을 보여준다.
• 유니터리 $ t $-디자인의 근사치 $ ilde{O}(1) $ 수준을 이루는 $ G $-게이트 브릭워크 회로의 메트릭 엔트로피는 $ ilde{ heta}(tn) $ 이하로 하한이 설정되며, 이는 구별 가능한 유니터리의 수가 $ t $ 와 $ n $ 에 따라 증가함을 보여준다.