[논문 리뷰] Learning, Realizability and Games in Classical Arithmetic

Federico Aschieri|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 22.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 고전 산술의 새로운 계산적 의미 이론인 상호작용 기반 실현 가능성(interactive learning-based realizability)을 제안한다. 이 이론은 오류 기반 학습을 통해 스스로 수정하는 프로그램으로 증명을 모델링한다. 학습 기반 실현 가능성과 1-백트래킹 Coquand 게임 의미 이론 사이에 완전한 타당성과 완전성 대응 관계를 확립하며, 고전 산술 내 학습 과정에 대한 구성적 분석을 제공한다. 이는 학습 길이의 상한과 제2형 산술에 대한 업데이트 절차의 초한수 확장도 포함된다.

ABSTRACT

In this dissertation we provide mathematical evidence that the concept of learning can be used to give a new and intuitive computational semantics of classical proofs in various fragments of Predicative Arithmetic. First, we extend Kreisel modified realizability to a classical fragment of first order Arithmetic, Heyting Arithmetic plus EM1 (Excluded middle axiom restricted to Sigma^0_1 formulas). We introduce a new realizability semantics we call "Interactive Learning-Based Realizability". Our realizers are self-correcting programs, which learn from their errors and evolve through time. Secondly, we extend the class of learning based realizers to a classical version PCFclass of PCF and, then, compare the resulting notion of realizability with Coquand game semantics and prove a full soundness and completeness result. In particular, we show there is a one-to-one correspondence between realizers and recursive winning strategies in the 1-Backtracking version of Tarski games. Third, we provide a complete and fully detailed constructive analysis of learning as it arises in learning based realizability for HA+EM1, Avigad's update procedures and epsilon substitution method for Peano Arithmetic PA. We present new constructive techniques to bound the length of learning processes and we apply them to reprove - by means of our theory - the classic result of Godel that provably total functions of PA can be represented in Godel's system T. Last, we give an axiomatization of the kind of learning that is needed to computationally interpret Predicative classical second order Arithmetic. Our work is an extension of Avigad's and generalizes the concept of update procedure to the transfinite case. Transfinite update procedures have to learn values of transfinite sequences of non computable functions in order to extract witnesses from classical proofs.

연구 동기 및 목표

• 고전 산술의 일부 분할, 특히 Heyting 산술에 더해진 EM₁을 포함하여 고전 증명의 구성적이고 학습 기반의 계산적 의미 이론을 제공하는 것.
• 실현자를 스스로 수정하는 프로그램으로 모델링함으로써 Kreisel의 수정된 실현 가능성(marked realizability)을 고전 논리로 확장하는 것.
• 학습 기반 실현 가능성과 1-백트래킹 게임 의미 이론 사이에 완전한 대응 관계를 확립하고, 타당성과 완전성을 증명하는 것.
• 고전 산술 내 학습 과정에 대한 구성적 분석을 제공하며, 이는 Gödel의 시스템 T 기반으로 학습 길이의 상한을 포함한다.
• Avigad의 유한한 업데이트 절차를 초한수의 경우로 일반화하여 예측가능한 고전적 제2형 산술을 해석하는 것.

제안 방법

• 원자 실현자를 실패 기반으로 스스로 수정하는 학습 에이전트로 모델링하는 새로운 실현 가능성 의미 이론인 상호작용 기반 실현 가능성(interactive learning-based realizability)을 도입한다.
• 실현자를 지속적으로 시험하고 질문하며 지식을 확장하는 자기 수정형 프로그램으로 정의하며, 고전 원리가 이와 같은 학습 행동을 직관주의 논리 외부에서 가능하게 한다.
• 학습 기반 실현자와 1-백트래킹 Tarski 게임에서의 재귀적 승리 전략 사이의 대응 관계를 구축하고, 타당성과 완전성을 증명한다.
• 비표준 자연수 쌍과 수렴 모듈러스를 사용하여 Gödel의 시스템 T의 비표준 모델을 구성함으로써 학습 과정의 길이를 상한으로 제한한다.
• Avigad의 유한한 업데이트 절차를 초한수 순서수(예: ω + k)로 확장하여 고전적 제2형 산술을 해석한다. 여기서는 에프실론 대체법과 임계 공식 분석을 사용한다.
• 바르 회귀와 유형 0 회귀를 사용하여 학습 과정의 종료와 수렴을 분석함으로써, 시스템 T 내에서 구성적 상한을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Heyting 산술에 더해진 EM₁에서의 고전 증명은 어떻게 구성적이고 학습 기반의 계산적 의미 이론으로 해석될 수 있는가?
• RQ2 학습 기반 실현 가능성과 1-백트래킹 게임 의미 이론 사이의 정확한 대응 관계는 무엇인가?
• RQ3 고전 산술 내 학습 과정의 길이는 구성적으로 상한을 가질 수 있으며, 만약 그렇다면 어떻게 상한을 구할 수 있는가?
• RQ4 Avigad의 유한한 업데이트 절차는 어떻게 초한수 순서수로 일반화될 수 있는가? 특히 제2형 산술의 맥락에서.
• RQ5 고전 원리가 직관주의 프레임워크 내에서 스스로 수정하는 학습 기반 계산을 가능하게 하는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 상호작용 기반 실현 가능성은 HA + EM₁ 내 고전 증명에 대해 타당하고 완전한 의미 이론을 제공하며, 실현자들은 정확히 1-백트래킹 Tarski 게임에서의 재귀적 승리 전략과 대응된다.
• 논문은 학습 과정이 수렴 모듈러스에 의해 상한이 되는 비표준 모델을 구성하였으며, 이러한 상한 자체가 시스템 T 내에서 표현 가능하다.
• 에프실론 대체법과 업데이트 절차 내 학습 과정의 길이는 구성적으로 상한이 되며, 이 상한은 시스템 T 내에서 증명 가능하다.
• 초한수 순서수 ω + k로의 업데이트 절차의 초한수 확장은 예측가능한 고전적 제2형 산술의 구성적 의미 이론을 제공한다.
• 이 이론은 Gödel의 결과를 재확인한다. 즉, PA에서 증명 가능한 전형 함수들은 모두 시스템 T 내에서 표현 가능하며, 이는 학습과 수렴 모듈러스에 기반한 새로운 구성적 방법을 사용한다.
• 순서수 ω + k의 업데이트 절차의 적합성이 증명되었으며, 모든 이러한 절차가 유한한 영점을 가진다면, 원시적 분석(Elementary Analysis)은 1-일致성(1-consistent)임을 보여준다.