[논문 리뷰] Learning Regions of Attraction in Unknown Dynamical Systems via Zubov-Koopman Lifting: Regularities and Convergence

Yiming Meng, Ruikun Zhou외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 11. 25.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 관측 가능한 궤적을 무한차원 함수 공간으로 업라이프하는 데 사용되는 러닝-쿠르만 연산자(또는 쿠르만-즈보프 연산자)를 학습함으로써, 전체 시스템 역학이 알려지지 않은 비선형 동적 시스템에서 영역의 안정성(ROA)을 데이터 기반으로 추정하는 방법을 제안한다. 학습된 연산자를 반복 적용하여 주보의 방정식의 해를 근사함으로써, 이 방법은 더 적은 데이터 요구량으로 진짜 ROA에 수렴할 수 있으며, 공식적인 검증이 가능한 근사적인 최대 라플라스 함수를 제공한다.

ABSTRACT

The estimation for the region of attraction (ROA) of an asymptotically stable equilibrium point is crucial in the analysis of nonlinear systems. There has been a recent surge of interest in estimating the solution to Zubov's equation, whose non-trivial sub-level sets form the exact ROA. In this paper, we propose a lifting approach to map observable data into an infinite-dimensional function space, which generates a flow governed by the proposed `Zubov-Koopman' operators. By learning a Zubov-Koopman operator over a fixed time interval, we can indirectly approximate the solution to Zubov's equation through iterative application of the learned operator on certain functions. We also demonstrate that a transformation of such an approximator can be readily utilized as a near-maximal Lyapunov function. We approach our goal through a comprehensive investigation of the regularities of Zubov-Koopman operators and their associated quantities. Based on these findings, we present an algorithm for learning Zubov-Koopman operators that exhibit strong convergence to the true operator. We show that this approach reduces the amount of required data and can yield desirable estimation results, as demonstrated through numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 전체 시스템 역학이 제공되지 않는 알려지지 않은 비선형 동적 시스템에서 점점 수렴하는 평형점의 영역의 안정성(ROA)을 추정하기 위해.
• 관측 가능한 궤적 데이터를 무한차원 함수 공간으로 매핑하는 업라이프 프레임워크를 개발하여, 선형 주보-쿠르만 연산자가 지배하는 공간에서의 동역학을 표현하기 위해.
• ROA의 정확한 정의를 내리는 주보의 방정식의 해를 반복적 적용을 통해 근사하기 위해.
• 근사된 해로부터 근사적인 최대 라플라스 함수를 구성하여 안정성의 공식적 검증이 가능하도록 하기 위해.
• 데이터 기반 학습 하에 주보-쿠르만 연산자의 이론적 정규성 및 수렴 성질을 확립하기 위해.

제안 방법

• 관측 가능한 상태 궤적을 쿠르만 유형의 연산자 프레임워크를 사용하여 함수 공간으로 업라이프함으로써, 주보-쿠르만 연산자가 지배하는 선형 진화를 유도한다.
• 주보-쿠르만 연산자를 고정된 시간 간격 동안 시스템의 흐름을 통해 함수를 진화시키는 시간 연속 세미군으로 정의한다.
• EDMD나 신경망 기반 함수 근사와 같은 데이터 기반 근사 방법을 사용하여 궤적 데이터로부터 주보-쿠르만 연산자를 학습한다.
• 세미군 성질과 점성해 이론을 활용하여 기준 함수에 대해 학습된 연산자를 반복 적용함으로써 주보의 방정식의 해를 근사한다.
• 증가 함수 변환을 적용하여 학습된 근사기에서 근사적인 최대 라플라스 함수를 구성함으로써, 전진 불변성과 안정성 검증을 보장한다.
• 기본 PDE의 정규성 분석과 점성해 이론을 사용하여 학습된 연산자가 진짜 주보-쿠르만 연산자로 수렴하는 이론적 수렴성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 데이터 기반 접근 방식이 알려지지 않은 비선형 시스템에서 주보의 방정식의 해를 수렴 보장과 함께 근사할 수 있는가?
• RQ2 제한된 궤적 데이터로부터 주보-쿠르만 연산자를 어떻게 구성할 수 있으며, 이를 통해 업라이프된 함수 공간에서 시스템의 역학을 표현할 수 있는가?
• RQ3 주보-쿠르만 연산자는 어떤 정규성 성질을 가지며, 이러한 성질이 학습 과정의 안정성과 수렴성을 어떻게 보장하는가?
• RQ4 학습된 근사기로부터 근사적인 최대 라플라스 함수를 구성할 수 있으며, 이를 통해 ROA의 공식적 검증이 가능한가?
• RQ5 기존의 공식적 방법이나 직접 PDE 해법에 비해 이 방법은 데이터 요구량을 어느 정도 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 적절한 함수 공간에서 주보-쿠르만 연산자는 강한 연속성 세미군임이 입증되어 업라이프 프레임워크의 잘 정의됨을 보장한다.
• 주보의 방정식의 해는 점성해로서 유일하게 특징지어지며, 적절한 정의도메인 조건 하에서 주보-쿠르만 연산자가 이러한 유일성을 유지한다.
• 약한 정규성 가정 하에 학습된 주보-쿠르만 연산자는 진짜 연산자로 수렴하며, 수렴 속도는 데이터 품질과 함수 근사 정확도에 따라 달라진다.
• 업라이프된 공간에서 쿠르만 연산자의 선형성 구조를 활용함으로써, 전통적 공식적 방법에 비해 데이터 요구량을 감소시킨다.
• 학습된 근사기의 변환을 통해 근사적인 최대 라플라스 함수를 도출할 수 있으며, 이는 보장된 불변성과 함께 ROA의 공식적 검증에 사용될 수 있다.
• 수치 예제는 제한된 궤적 데이터로도 이 방법이 정확한 ROA 추정을 달성하며, 기존의 데이터 기반 라플라스 함수 접근법을 능가함을 보여준다.