[논문 리뷰] Learning stabilizer states by Bell sampling

Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 13.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 9인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $n$ 큐비트의 알려지지 않은 스태빌라이저 상태를 오직 $O(n)$개의 복제본과 벨 측정법—두 큐비트 쌍을 벨 기저에서 측정하는 것—을 사용하여 식별하는 양자 알고리즘을 제시한다. 이 방법은 두 큐비트 쌍에 대한 집합 측정을 통해 스태빌라이저 군을 효율적으로 재구성하며, $O(n^3)$ 실행 시간과 지수적으로 작은 실패 확률을 달성한다. 이는 정보 이론적 하한선과 일치한다.

ABSTRACT

We show that measuring pairs of qubits in the Bell basis can be used to obtain a simple quantum algorithm for efficiently identifying an unknown stabilizer state of n qubits. The algorithm uses O(n) copies of the input state and fails with exponentially small probability.

연구 동기 및 목표

• 모르는 $n$ 큐비트 스태빌라이저 상태를 효율적으로 식별하는 양자 알고리즘을 개발하기.
• 복제본 수를 최소화하여 $O(n)$개의 복제본을 달성함으로써 홀레보 정리에서 유도된 정보 이론적 하한선과 일치시키기.
• 항상 두 개의 복제본에 대해 쌍별 벨 측정만을 사용하여, 더 복잡한 집합 측정보다 구현이 간단한 방법을 제공하기.
• 높은 성공 확률을 확보하여 실패율이 $n$에 대해 지수적으로 감소하도록 하기.
• 양자 정보 처리에서 스태빌라이저 상태 학습을 위한 실용적이고 확장 가능한 방법을 제공하기.

제안 방법

• 각 큐비트 쌍을 벨 기저에서 측정하여 $n$ 큐비트 복제본의 쌍에 대해 벨 샘플링을 수행함으로써 $2n$-비트 결과 문자열을 얻는다.
• 결과 $r$을 관측할 확률은 $|\langle \psi | \sigma_r | \psi^* \rangle|^2 / 2^n$ 비례하며, 이는 측정 결과와 스태빌라이저 구조 사이의 연결 고리가 된다.
• 기준 결과 $r_0$에 대해 $2n$개의 이러한 벨 샘플을 수집함으로써, 차이 $r_i \oplus r_0$가 스태빌라이저 군 $T \subseteq \mathbb{F}_2^{2n}$ 위에서 균일하게 분포함을 확보한다.
• 차이 벡터 $2n$개를 고려하여 가우스 소거법을 적용함으로써 스태빌라이저 군 $T$의 기저를 추출한다. 이는 높은 확률로 $T$를 생성한다.
• 위상 정보(고유값의 부호)는 해당 파울리 연산자의 고유기저에서 $|\psi\rangle$의 단일 복제본을 측정함으로써 결정된다.
• 알고리즘은 총 $5n+2$개의 복제본을 사용한다: 하나의 기준 쌍과 $2n$개의 추가 쌍을 샘플링하기 위한 것이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정보 이론적 하한선과 일치하는 $O(n)$개의 복제본만으로 스태빌라이저 상태를 식별할 수 있는가?
• RQ2 복제본 쌍에 대한 벨 샘플링이 전체 스태빌라이저 군을 재구성하는 데 충분한 정보를 제공할 수 있는가?
• RQ3 벨 기저 측정에 기반한 간단한 측정 기반으로 고정밀도 상태 식별이 가능한가?
• RQ4 $O(n)$개의 벨 샘플을 사용하여 스태빌라이저 군을 재구성할 성공 확률는 얼마인가?
• RQ5 낮은 실패 확률을 유지하면서도 실행 시간이 $O(n^3)$ 이내로 효율적으로 실행 가능한가?

주요 결과

• 알고리즘은 홀레보 정리에서 유도된 정보 이론적 하한선과 일치하는 $O(n)$개의 복제본만으로 알려지지 않은 스태빌라이저 상태를 식별한다.
• 실패 확률는 $n$에 대해 지수적으로 감소하며, $n-1$차원 부분공간에 대한 유니온 바운드를 통해 $2^{-n}$ 이하로 제한된다.
• 알고리즘은 $O(n^3)$ 시간 내에 실행되며, 주로 스태빌라이저 군의 기저를 찾기 위한 가우스 소거법에 의해 결정된다.
• 기준 샘플 $r_0$에 대해 차이를 취할 경우, 두 큐비트 쌍에 대한 벨 샘플링은 스태빌라이저 군 $T$ 위에서 균일하게 분포하는 결과를 제공한다.
• 이 방법은 $\mathbb{F}_2$ 위에서 이차 부울 함수를 학습하는 루트엘러의 알고리즘을 일반화한다.
• 이 접근법은 실험적으로 실현 가능하며, 오직 벨 기저 측정과 단일 큐비트 측정에 의존하므로 간단하게 실현할 수 있다.