[논문 리뷰] Learning Unitaries by Gradient Descent

Bobak T. Kiani, Seth Lloyd외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 31.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 25인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 교대 연산자 시퀀스에서의 경사 하강법이 시퀀스에 최소 d^2개의 매개변수가 있을 때 U(d)에서 임의의 Haar 무작위 유니터리(U)도 학습할 수 있음을 보이며, 임계 매개변수 수에서의 계산적 위상전이를 드러낸다.

ABSTRACT

We study the hardness of learning unitary transformations in $U(d)$ via gradient descent on time parameters of alternating operator sequences. We provide numerical evidence that, despite the non-convex nature of the loss landscape, gradient descent always converges to the target unitary when the sequence contains $d^2$ or more parameters. Rates of convergence indicate a "computational phase transition." With less than $d^2$ parameters, gradient descent converges to a sub-optimal solution, whereas with more than $d^2$ parameters, gradient descent converges exponentially to an optimal solution.

연구 동기 및 목표

• 시간 매개변수화된 교대 연산자 시퀀스를 사용한 경사 하강법으로 U(d)에서 Haar 무작위 유니터리를 학습하는 난이도를 평가한다.
• 시퀀스의 매개변수 수가 수렴에 어떻게 영향을 미치는지 조사하고 저매개화와 과매개화 사이의 위상전이를 식별한다.
• 임의의 및 얕은 깊이의 유니터리 학습을 모두 검토하고, 지형(랜드스케이프) 거동과 수렴 속도를 특징짓는다.

제안 방법

• 유니터리들을 V(t,τ) = e^{-i A t_K} e^{-i B τ_K} ... e^{-i A t_1} e^{-i B τ_1}로 모델링하며 매개변수 t_i, τ_i를 사용한다.
• A, B를 Gaussian Unitary Ensemble(GUE) 무작위 행렬로 취급하여 시스템의 제어 가능성을 보장한다.
• 학습 문제를 Frobenius 놈을 사용하여 L(t,τ) = ||U − V(t,τ)||^2를 최소화하는 형태로 정식화한다.
• 모든 2K 매개변수에 대해 경사 하강법을 수행하고 매개변수 수가 다르게 변할 때의 수렴을 분석한다(2K < d^2, 2K = d^2, 2K > d^2).
• 임의의 목표 유니터리와 얕은 깊이의 목표를 모두 탐구하여 깊이에 따른 학습 가능성을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수 수의 함수로서 교대 연산자 시퀀스에 대한 경사 하강법이 Haar 무작위 목표 유니터리 U(d)를 신뢰할 수 있게 복원하는가?
• RQ2 임계 매개변수 수 2K = d^2에서 수렴 거동에 계산적 위상전이가 있는가?
• RQ3 경사 하강법이 얕은 깊이의 유니터리를 학습할 수 있는가, 그렇다면 d^2에 비해 필요한 매개변수 예산은 무엇인가?
• RQ4 저매개화, 임계 매개화, 과매개화 구역 사이에서 수렴 속도는 어떻게 다른가?
• RQ5 이 양자 제어 작업의 학습 가능성에 영향을 주는 지형(국부 최소점, 사다리점)은 무엇인가?

주요 결과

• 매개변수 수가 최소 d^2일 때 경사 하강법은 목표 유니터리에 수렴한다.
• 저매개화의 경우(2K < d^2)는 일반적으로 비최적 손실 플래토로 수렴한다.
• 임계점 2K = d^2에서 학습은 더 느린 비례수렴(power-law) 속도를 보인다.
• 과매개화의 경우(2K > d^2)는 전역 최솟값 근처에서 지수적 수렴을 보이며, 이차 손실 지형과 일치한다.
• 얕은 깊이의 유니터리 학습은 일반적으로 2K ≥ d^2(또는 K ≥ d^2/2) 매개변수가 필요하여, 경사 하강법으로 저깊이 학습의 난이도를 시사한다.
• 손실 지형은 매개변수가 충분하지 않은 얕은 유니터리를 대상으로 할 때 트랩이 있는 매우 비볼록(non-convex)하지만, 과매개화 구간에서는 전역 수렴성을 보인다.