[논문 리뷰] Least action principles for incompressible flows and optimal transport between shapes

Jian‐Guo Liu, Robert L. Pego외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 12.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 56인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 체적 보존 미분형사군 내에서 형태 간 비압축성 유체 흐름을 지오데식으로 공식화하며, 운동 에너지 작용을 최소화하면 압력과 표면장력이 0인 점성 없는 압축성 유동에 대한 오일러 방정식이 도출됨을 보여준다. 핵심 결과는 임의의 두 동일한 부피를 가진 형태가 타원형 지오데식의 가산 초월합으로 근사적으로 연결될 수 있으며, 이 경우 최소 작용값은 워샤프스키 거리의 제곱과 일치한다—유일하게 1차원에서만 실현된다.

ABSTRACT

As V. I. Arnold observed in the 1960s, the Euler equations of incompressible fluid flow correspond formally to geodesic equations in a group of volume-preserving diffeomorphisms. Working in an Eulerian framework, we study incompressible flows of shapes as critical paths for action (kinetic energy) along transport paths constrained to be shape densities (characteristic functions). The formal geodesic equations for this problem are Euler equations for incompressible, inviscid potential flow of fluid with zero pressure and surface tension on the free boundary. The problem of minimizing this action exhibits an instability associated with microdroplet formation, with the following outcomes: Any two shapes of equal volume can be approximately connected by an Euler spray---a countable superposition of ellipsoidal geodesics. The infimum of the action is the Wasserstein distance squared, and is almost never attained except in dimension 1. Every Wasserstein geodesic between bounded densities of compact support provides a solution of the (compressible) pressureless Euler system that is a weak limit of (incompressible) Euler sprays. Each such Wasserstein geodesic is also the unique minimizer of a relaxed least-action principle for a two-fluid mixture theory corresponding to incompressible fluid mixed with vacuum.

연구 동기 및 목표

• 체적 보존 제약 조건 하에서 운동 에너지의 임계 경로로 비압축성 유체 흐름을 형태 간에 공식화하기.
• 형태 운반 과정에서 미세방울 형성과 연관된 작용 최소화 문제의 불안정성 분석하기.
• 비압축성 오일러 스프레과 압축성 압력이 없는 오일러 시스템의 약한 해 사이의 관계 설정하기.
• 유계 및 compactly supported 밀도 간 워샤프스키 지오데식이 비압축성 오일러 스프레의 극한으로서 나타남을 보여주기.
• 각 워샤프스키 지오데식이 진공이 포함된 이중 유체 혼합 모델에서의 이완된 최소 작용 원리의 유일한 최소화자임을 보여주기.

제안 방법

• 형태 밀도를 나타내기 위해 특성 함수를 사용하는 에이우러리안 프레임워크에서 문제를 공식화하기.
• 비압축성, 점성 없는 압축성 유동에 대해 압력과 표면장력이 0인 경우 지오데식 방정식을 형식적으로 도출하기.
• 형태 밀도에 제약된 운반 경로에 대해 운동 에너지를 통합한 작용 함수 분석하기.
• 형태 전이를 근사하기 위해 타원형 지오데식의 가산 초월합으로 오일러 스프레를 구성하기.
• 이중 유체 혼합 이론에서의 이완된 최소 작용 원리를 적용하여 워샤프스키 지오데식이 최소화자임을 특성화하기.
• 약한 극한 추론을 사용하여 비압축성 오일러 스프레와 압축성 압력이 없는 오일러 시스템의 해를 연결하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체적을 보존하면서 한 형태를 다른 형태로 운반하는 비압축성 유체 흐름을 지배하는 지오데식 방정식은 무엇인가?
• RQ2 미세방울 형성이 형태 운반의 작용 최소화 문제를 어떻게 불안정하게 하는가?
• RQ3 형태 공간에서 오일러 스프레와 워샤프스키 거리 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 유계 및 컴팩트리 서포티드 밀도 간 워샤프스키 지오데식은 비압축성 오일러 흐름의 극한으로서 실현될 수 있는가?
• RQ5 워샤프스키 지오데식을 이완된 작용 함수에 기반한 변분 원리로 유일하게 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 두 동일 부피의 형태를 운반하기 위한 작용의 하한값은 워샤프스키 거리의 제곱과 같으며, 이 값은 유일하게 1차원에서만 실현된다.
• 임의의 두 형태는 타원형 지오데식의 가산 초월합인 오일러 스프레로 근사적으로 연결될 수 있으며, 이는 근사 최소화자의 존재를 보여준다.
• 유계 및 컴팩트리 서포티드 밀도 간의 각 워샤프스키 지오데식은 비압축성 오일러 스프레의 약한 극한으로서 나타난다.
• 결과로 얻어진 약한 극한은 압축성 압력이 없는 오일러 시스템의 해이며, 비압축성 및 압축성 유체역학을 작용 원리로 연결한다.
• 워샤프스키 지오데식은 비압축성 유체와 진공을 포함한 이중 유체 혼합 모델에서의 이완된 최소 작용 원리의 유일한 최소화자이다.
• 형식적 지오데식 방정식은 자유 표면에서 압력과 표면장력이 0인 비압축성, 점성 없는 압축성 유동에 대한 오일러 방정식과 대응한다.