[논문 리뷰] Least Squares Methods for Equidistant Tree Reconstruction

Conor Fahey, Serkan Hoşten외 2명|ArXiv.org|2008. 08. 28.

Remote Sensing and LiDAR Applications참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 완전 그래프 $K_n$ 의 그래픽 매트로이드의 Bergman 복합체를 사용하여 등거리 나무 재구성의 기하학적 프레임워크를 제안한다. UPGMA가 이 복합체의 최대 차원 세포 위로 정사영하는 방식으로 작동함을 보이며, 최소 제곱 등거리 나무는 어떤 최대 Bergman 세포 위로의 정사영을 통해 얻어지며, UPGMA는 항상 최적의 해를 제공하지는 않음을 증명한다. 이로 인해 새로운 확장된 UPGMA 알고리즘과 정확한 나무 선택을 위한 분할 정복 방법이 제안되었으며, 일부 입력에 대해서는 최소 $(n-1)!$ 개의 최적 나무가 존재함을 데이터로 확인하였다.

ABSTRACT

UPGMA is a heuristic method identifying the least squares equidistant phylogenetic tree given empirical distance data among $n$ taxa. We study this classic algorithm using the geometry of the space of all equidistant trees with $n$ leaves, also known as the Bergman complex of the graphical matroid for the complete graph $K_n$. We show that UPGMA performs an orthogonal projection of the data onto a maximal cell of the Bergman complex. We also show that the equidistant tree with the least (Euclidean) distance from the data is obtained from such an orthogonal projection, but not necessarily given by UPGMA. Using this geometric information we give an extension of the UPGMA algorithm. We also present a branch and bound method for finding the best equidistant tree. Finally, we prove that there are distance data among $n$ taxa which project to at least $(n-1)!$ equidistant trees.

연구 동기 및 목표

• 완전 그래프 $K_n$ 의 그래픽 매트로이드의 Bergman 복합체를 이용하여 $n$ 개의 잎을 가진 등거리 나무의 공간 기하학적 구조를 이해하기.
• UPGMA 알고리즘이 Bergman 복합체의 최대 차원 세포 위로의 정사영으로서의 행동을 분석하기.
• UPGMA가 최소 제곱 등거리 나무를 생성하지 못하는 조건을 규명하기.
• 전역적으로 최적의 등거리 나무를 찾기 위한 새로운 확장된 UPGMA 알고리즘과 분할 정복 방법을 개발하기.
• 주어진 거리 데이터 세트에 대해 최적일 수 있는 등거리 나무의 수에 하한을 설정하여 최소 $(n-1)!$ 개의 나무가 존재함을 보여주기.

제안 방법

• 모든 $n$ 개의 잎을 가진 등거리 나무의 공간을 $K_n$ 의 그래픽 매트로이드의 Bergman 복합체 $\mathcal{B}_n$ 로 모델링하며, 이는 다면체 복합체이다.
• 입력 거리 데이터 벡터가 $\mathbb{R}^{\binom{n}{2}}$ 에서 표준 유클리드 내적을 사용할 때, UPGMA가 $\mathcal{B}_n$ 의 최대 차원 세포 위로 정사영하는 것을 증명한다.
• 진정한 최소 제곱 등거리 나무는 어떤 최대 Bergman 세포 위로의 정사영에 해당하지만, UPGMA가 선택하는 세포와 반드시 같은 것은 아님을 보여준다.
• 각 세포가 동일한 최대 Bergman 세포 집합으로 정사영되는 데이터 공간 $\mathbb{R}^{\binom{n}{2}}$ 의 다면체 분할을 도입한다.
• Bergman 복합체의 기하학적 구조를 기반으로 다수의 후보 최대 세포를 탐색하는 확장된 UPGMA 알고리즘을 제안한다.
• 모든 가능한 최대 Bergman 세포로의 정사영을 평가하여 전역적으로 최적의 등거리 나무를 체계적으로 탐색하기 위해 분할 정복 알고리즘을 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 이질성 지도에 대해 UPGMA는 항상 최소 제곱 등거리 나무를 도출하는가?
• RQ2 등거리 나무의 공간과 최소 제곱 최적화 문제 사이의 기하학적 관계는 무엇인가?
• RQ3 최소 제곱 기준을 충족하는 최적의 등거리 나무는 Bergman 복합체 $\mathcal{B}_n$ 의 최대 차원 세포 위로의 정사영을 통해 찾을 수 있는가?
• RQ4 한 개의 거리 데이터 세트에 대해 최소 몇 개의 서로 다른 등거리 나무가 최적일 수 있는가?
• RQ5 Bergman 복합체의 구조를 활용하여 최소 제곱 등거리 나무 재구성에서 UPGMA보다 더 정확한 알고리즘을 설계할 수 있는가?

주요 결과

• UPGMA는 입력 거리 데이터를 Bergman 복합체 $\mathcal{B}_n$ 의 최대 차원 세포 위로 정사영하지만, 이 정사영이 항상 최소 제곱 최적 나무를 도출하는 것은 아니다.
• 전역적으로 최적의 등거리 나무는 어떤 최대 Bergman 세포 위로의 정사영을 통해 도출되지만, 반드시 UPGMA가 선택한 세포와 같은 것은 아니다.
• 일부 거리 데이터 세트에서는 최소 $(n-1)!$ 개의 등거리 나무가 최소 제곱 기준을 충족하며, 이는 최적 나무의 수가 상당히 많을 수 있음을 시사한다.
• 데이터 공간 $\mathbb{R}^{\binom{n}{2}}$ 의 다면체 분할에서 동일한 최대 Bergman 세포 집합으로 정사영되는 영역은 연결되어 있지 않을 수 있다.
• 11~19마리의 척추동물 플라센탈 박테리아 데이터셋에서, 분자 시계가 성립하지 않는 종이 점점 더 추가될수록 최적 나무의 수가 1에서 6으로 증가하여, 분자 시계에서의 편이에 민감함을 보였다.
• 최대 18개의 종을 포함한 데이터셋에서, 최적의 최소 제곱 나무는 항상 아프로테리아노이드, 셰나르티아노이드, 보레오테리아노이드의 분지 순서를 정확히 반영하였으며, 베이지안 및 최대우도 결과와 일치하였다. 다만 케타르티오다일레스와 박쥐의 위치에 대해 지속적인 불일치가 존재하였다.