[논문 리뷰] Leave-one-out least squares Monte Carlo algorithm for pricing Bermudan options

Jeechul Woo, Chenru Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 46인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 미국형 및 베르무단 옵션 가격 산정에서 룩어헤드 바이어스를 제거하기 위해 이조리드 옵션 최소 제곱 몬테카를로(LOOLSM) 알고리즘을 제안한다. 떠남-한 개의 샘플을 제외한 회귀 모델을 훈련시음으로써 LOOLSM은 행사 결정과 미래 수익 간의 허구적 상관관계를 제거하며, 시뮬레이션 수를 두 배로 늘리지 않고도 바이어스 감소를 달성한다. 이론적으로 바이어스는 기저 함수 수 대 시뮬레이션 경로 수의 비율에 비례한다.

ABSTRACT

The least squares Monte Carlo (LSM) algorithm proposed by Longstaff and Schwartz (2001) is widely used for pricing Bermudan options. The LSM estimator contains undesirable look-ahead bias, and the conventional technique of avoiding it requires additional simulation paths. We present the leave-one-out LSM (LOOLSM) algorithm to eliminate look-ahead bias without doubling simulations. We also show that look-ahead bias is asymptotically proportional to the regressors-to-paths ratio. Our findings are demonstrated with several option examples in which the LSM algorithm overvalues the options. The LOOLSM method can be extended to other regression-based algorithms that improve the LSM method.

연구 동기 및 목표

• 미국형 및 베르무단 옵션 가격 산정에 사용되는 표준 최소 제곱 몬테카를로(LSM) 알고리즘에 내재된 룩어헤드 바이어스를 해결하기 위해.
• 기존의 이중 시뮬레이션 방법에 비해 계산 효율성이 높은 바이어스 제거 방법을 개발하기 위해.
• 룩어헤드 바이어스가 기저 함수 수 대 시뮬레이션 경로 수 비율에 비례한다는 이론적 기반을 확립하기 위해.
• LSM이 옵션 가격을 과대평가하는 다중 자산 및 복잡한 구조화된 노트 옵션에서 이 방법의 효과성을 입증하기 위해.
• 다른 회귀 기반 몬테카를로 알고리즘으로의 LOOLSM 프레임워크 확장으로 유연성 있는 파생상품 가격 산정의 정확도 향상에 기여하기 위해.

제안 방법

• 모든 시뮬레이션 경로에서 하나를 제외한 나머지 경로를 사용해 계속가치 추정을 위한 회귀 모델을 훈련시키는 이조리드 교차검증 접근법을 제안함으로써, 동일한 경로를 결정과 수익 평가에 모두 사용함으로써 발생하는 룩어헤드 바이어스를 제거한다.
• 모든 행사 일자에서 이조리드 회귀를 적용하여 추정된 계속가치가 의사결정 규칙에서 사용된 미래 수익 경로와 조건부 독립이 되도록 보장한다.
• 기존의 이중 시뮬레이션 방법과 달리 전체 두 번째 시뮬레이션 세트를 생성하지 않기 때문에 계산 효율성을 유지한다.
• 이론적 분석을 통해 LSM에서의 룩어헤드 바이어스가 기저 함수 수(M)와 시뮬레이션 경로 수(N)의 비율에 비례하는 것으로 밝혀졌으며, 이는 O_p(M/N)로 표현된다.
• 귀납적이고 확률론적 추론을 통해 LOOLSM 추정량의 바이어스가 확률적 수렴과 기대값 수렴 모두에서 O_p(M/N) 속도로 0으로 수렴함을 증명한다.
• 정규성 조건을 만족하는 기저 함수와 수익 구조에 대해 농도 부등식과 모멘트 경계를 활용하여 수렴 성질을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 LSM 알고리즘의 룩어헤드 바이어스는 시뮬레이션 수를 두 배로 늘리지 않고 제거할 수 있는가?
• RQ2 LSM에서 기저 함수 수와 룩어헤드 바이어스 크기 사이의 이론적 관계는 무엇인가?
• RQ3 LSM이 옵션 가격을 과대평가하는 다중 자산 베르무단 옵션에서 LOOLSM 방법은 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 표준 가정 하에 LOOLSM 추정량은 확률적 수렴과 기대값 수렴이 진짜 옵션 가격으로 수렴하는가?
• RQ5 LOOLSM 프레임워크는 다른 회귀 기반 몬테카를로 알고리즘으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• LOOLSM 알고리즘은 이중 시뮬레이션 세트가 필요 없이 미국형 및 베르무단 옵션 가격 산정에서 룩어헤드 바이어스를 성공적으로 제거하며, 이중 시뮬레이션 방법에 비해 계산 효율성이 높은 대안을 제공한다.
• 이론적 분석을 통해 LSM에서의 룩어헤드 바이어스가 기저 함수 수(M)와 시뮬레이션 경로 수(N)의 비율에 비례함을 확인하였으며, 즉 O_p(M/N)로 표현된다.
• 다중 자산 옵션 사례에서 표준 LSM 방법은 룩어헤드 바이어스로 인해 옵션 가격을 크게 과대평가하지만, LOOLSM은 이 과대평가를 효과적으로 수정한다.
• LOOLSM 추정량은 확률적으로 진짜 옵션 가격으로 수렴하며, 시뮬레이션 경로 수가 증가함에 따라 바이어스가 0으로 감소한다.
• LOOLSM 추정량의 기대 바이어스는 o_p(1)이며, 임의의 δ > 0 및 ε > 0에 대해 N을 충분히 증가시킴으로써 바이어스가 δ를 초과할 확률을 임의로 작게 만들 수 있어 일致성(consistency)이 확인된다.
• 이 방법은 다른 회귀 기반 몬테카를로 알고리즘으로도 확장 가능하여, 시뮬레이션 기반 파생상품 가격 산정에서 바이어스 감소를 위한 일반적 프레임워크를 제공한다.