[논문 리뷰] Lectures on Hausdorff and Gromov-Hausdorff Distance Geometry

Alexey Avgustinovich Tuzhilin|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 01.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 하우스도르프 및 그롬프-하우스도르프 거리 기하학에 대한 철저한 대학원 수준의 소개를 제공하며, 거리 기하학의 기초가 되는 위상수학 및 거리공간 이론을 수립한 후, 그롬프-하우스도르프 수렴 이론과 그 응용을 발전시킨다. 주요 기여는 유한 그래프에서 클리크 커버링 및 색칠 수를 그롬프-하우스도르프 거리와 메트릭 심플렉스 사이의 관계를 통해 새롭게 특성화함으로써, 기하적 거리 측도를 이용한 알고리즘적 계산이 가능하게 한다.

ABSTRACT

The course was given at Peking University, Fall 2019. We discuss the following subjects: (1) Introduction to general topology, hyperspaces, metric and pseudometric spaces, graph theory. (2) Graphs in metric spaces, minimum spanning tree, Steiner minimal tree, Gromov minimal filling. (3) Hausdorff distance, Vietoris topology, Limits theory, inheritance of completeness, total boundedness, compactness by hyperspaces. (4) Gromov-Hausdorff distance, triangle inequality, positive definiteness for isometry classes of compact spaces, counterexample for boundedly compact spaces. (5) Gromov-Hausdorff distance for separable spaces in terms of their isometric images in \ell_\infty, correspondences, Gromov-Hausdorff distance in terms of correspondences. (6) Epsilon-isometries and Gromov-Hausdorff distance. (7) Irreducible correspondences and Gromov-Hausdorff distance. (8) Gromov-Hausdorff convergence, inheritance of metric and topological properties while Gromov-Hausdorff convergence. (9) Gromov-Hausdorff space (GH-space), optimal correspondences, existence of closed optimal correspondences for compact metric spaces, GH-space is geodesic. (10) Cover number, packing number, total boundedness, completeness, and separability of GH-space. (11) mst-spectrum in terms of GH-distances to simplexes, Steiner problem in GH-space. (12) GH-distance to simplexes with more points, GH-distance to simplexes with at most the same number of points. (13) Generalized Borsuk problem, solution of Generalized Borsuk problem in terms of GH-distances, clique covering number and chromatic number of simple graphs, their dualities, calculating these numbers in terms of GH-distances.

연구 동기 및 목표

• 일반 위상수학, 거리공간, 곡선 이론에 대한 엄밀하고 자료가 완비된 소개를 제공하여 거리기하학의 기초를 다지기.
• 콤��� 및 완비 거리공간에서 하우스도르프 및 그롬프-하우스도르프 거리 이론을 발전시키기.
• 콤팩트 거리공간의 그롬프-하우스도르프 공간의 지오데식성 및 완비성 성질을 확립하기.
• 그롬프-하우스도르프 거리를 이용해 그래프이론의 고전 문제, 특히 클리크 커버링 및 색칠 수 계산에 적용하기.

제안 방법

• 표준 위상수학적 구성(부분공간, 곱공간, 몫공간, 비에토리스 위상)과 거리공간의 임bedding을 이용하여 수렴성과 컴팩턴스를 정의하고 분석한다.
• 콤팩트 부분집합의 하이퍼공간에 대한 하우스도르프 거리를 정의하고, 완비 및 컴팩트 거리공간에 대한 극한 정리들을 증명한다.
• 기하학적 대응관계의 최소화를 통해 그롬프-하우스도르프 거리를 정의하고, 콤팩트 거리공간 간에 최적의 대응관계 존재를 증명한다.
• 아르체라-아스coli 정리와 호프-리노우 조건을 적용하여 거리공간 내 최단 곡선 및 지오데식선의 존재를 확립한다.
• 유한 그래프에 거리공간을 정의하기 위해 인접한 정점 간 거리를 $a$로, 비인접한 정점 간 거리를 $b > a$로 설정하고, 그래프의 클리크를 더 작은 지름을 가진 부분집합과 연결한다.
• 정리 8.7을 활용하여 $2d_{GH}(a\Delta_k, V)$와 $\operatorname{diam}V$보다 작은 지름을 가진 부분집합의 최소 개수를 $V$에 커버하기 위해 필요한 수를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 거리공간을 엄밀히 더 작은 지름을 가진 부분집합들로 커버하기 위해 필요한 최소 개수를 그롬프-하우스도르프 거리를 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ2 유한 거리공간에서 심플렉스까지의 그롬프-하우스도르프 거리와 관련된 그래프의 클리크 커버링 수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 그래프의 색칠 수는 메트릭 심플렉스까지의 그롬프-하우스도르프 거리를 통해 계산될 수 있는가?
• RQ4 콤팩트 거리공간의 그롬프-하우스도르프 공간이 지오데식적이거나 전체적으로 유계가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 유한 거리공간의 $\operatorname{mst}$ 스펙트럼은 심플렉스까지의 그롬프-하우스도르프 거리와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 유한 단순 그래프 $G$의 클리크 커버링 수 $\theta(G)$는 $2d_{GH}(a\Delta_k, V) = b$를 만족하는 가장 큰 정수 $k = m$에 대해 $m+1$과 같다. 여기서 $a < b \leq 2a$이다.
• 인접한 정점 간 거리가 $a$, 비인접한 정점 간 거리가 $b > a$로 정의된 유한 그래프 $G$에 대해 $\theta(G) = m+1$이며, 이때 $m$은 $2d_{GH}(a\Delta_k, V) = b$를 만족하는 최대 $k$이다.
• 그래프 $G$의 색칠 수 $\gamma(G)$는 거리 척도를 반전시켰을 때, 즉 인접한 정점 간 거리가 $b$, 비인접한 정점 간 거리가 $a$일 때, $2d_{GH}(a\Delta_k, V) = b$를 만족하는 가장 큰 $k$에 대해 $m+1$과 같다.
• 콤팩트 거리공간의 그롬프-하우스도르프 공간은 완비이자 분리 가능하며, 지오데식적이다. 즉, 임의의 두 콤팩트 거리공간은 최소화 지오데식선으로 연결될 수 있다.
• 유한 거리공간의 $\operatorname{mst}$-스펙트럼은 심플렉스까지의 그롬프-하우스도르프 거리를 통해 계산될 수 있으며, 이는 조합 최적화와 거리기하학을 연결한다.
• 유한 거리공간 $X$의 지름이 $d$일 경우, $X$가 $m$개의 엄밀히 더 작은 지름을 가진 부분집합으로 분할될 수 없음은 $\lambda = d/2$일 때 $2d_{GH}(\lambda\Delta_m, X) = d$와 동치이다.