[논문 리뷰] Lectures on Integrable probability: Stochastic vertex models and symmetric functions

Alexei Borodin, Leonid Petrov|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 04.

Random Matrices and Applications참고 문헌 43인용 수 35

한 줄 요약

이 논문은 4분면에 정의된 스토하스틱 고스피인 6정점 모델의 다중점 q-모멘트 및 q-상관 함수에 대한 적분 공식을 제시한다. 이는 양-바텍 방정식에서 유도된 대칭 유리함수를 통해 유도되며, 주요 기여는 ASEP, q-TASEP, 스토하스틱 q-보존과 같은 기존 모델로의 특수화가 가능한 통합 프레임워크를 제공하는 것이다. 이 프레임워크는 이러한 함수에 대한 편미분 카우치 항등식을 통해 명시적인 경로 적분 표현을 유도한다.

ABSTRACT

We consider a homogeneous stochastic higher spin six vertex model in a quadrant. For this model we derive concise integral representations for multi-point q-moments of the height function and for the q-correlation functions. At least in the case of the step initial condition, our formulas degenerate in appropriate limits to many known formulas of such type for integrable probabilistic systems in the (1+1)d KPZ universality class, including the stochastic six vertex model, ASEP, various q-TASEPs, and associated zero range processes. Our arguments are largely based on properties of a family of symmetric rational functions (introduced in arXiv:1410.0976) that can be defined as partition functions of the higher spin six vertex model for suitable domains; they generalize classical Hall-Littlewood and Schur polynomials. A key role is played by Cauchy-like summation identities for these functions, which are obtained as a direct corollary of the Yang-Baxter equation for the higher spin six vertex model. These are lecture notes for a course given by A.B. at the Ecole de Physique des Houches in July of 2015. All the results and proofs presented here generalize to the setting of the fully inhomogeneous higher spin six vertex model, see arXiv:1601.05770 for a detailed exposition of the inhomogeneous case.

연구 동기 및 목표

• 스토하스틱 고스피인 6정점 모델의 q-모멘트 및 q-상관 함수에 대한 명시적인 적분 표현을 유도하는 것.
• 1+1차원 KPZ 보편성 계열 내의 적분 가능 확률 시스템을 연결하는 통합 프레임워크를 수립하는 것.
• 정점 모델의 분할 함수로 나타나는 대칭 유리함수를 통해 할랜드-리틀우드 및 셔르 다항식을 일반화하는 것.
• 기존 모델인 ASEP, q-TASEP, 스토하스틱 q-보존이 고스피인 정점 모델의 적절한 매개변수 극한으로서 도출됨을 보여주는 것.
• 양-바텍 방정식으로부터 유도된 카우치 유사 항등식을 활용한 모멘트 공식의 체계적 유도를 제공하는 것.

제안 방법

• 모델은 고스피인 정점 가중치가 양-바텍 방정식를 만족하는 1사분면에서 정의된다.
• 특정 경계 조건 하에서 모델의 분할 함수로 대칭 유리함수가 도입된다.
• 이 함수들에 대한 편미분 카우치 항등식은 양-바텍 방정식의 직접적인 결과로 도출된다.
• 이 항등식을 활용하여 q-모멘트 및 q-상관 함수의 경로 적분 표현이 구성된다.
• 해석적 계속 및 경로 변형 기법이 사용되며, 음의 방향 경로를 양의 방향으로 변환하기 위해 무한대를 뚫고 경로를 이동시키는 방법이 포함된다.
• 매개변수의 적절한 극한을 취함으로써 기존 모델로의 특수화가 이루어지며, 예를 들어 q-보존 과정에서는 J=1 및 s²=−ϵ를 취한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토하스틱 고스피인 6정점 모델에서 높이 함수의 다중점 q-모멘트는 어떻게 닫힌 형태로 표현할 수 있는가?
• RQ2 대칭 유리함수는 1+1차원 KPZ 보편성 계열 내의 적분 가능 확률 시스템을 어떻게 통합하는가?
• RQ3 정점 모델의 맥락에서 양-바텍 방정식으로부터 이러한 함수에 대한 카우치 유사 항등식은 어떻게 도출되는가?
• RQ4 유도된 공식은 ASEP, q-TASEP, 스토하스틱 q-보존에 대해 어떤 극한에서 기존 결과로 축소되는가?
• RQ5 모멘트 공식 유도 과정에서 경로 변형 및 중첩된 통합 경로의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 높이 함수의 q-모멘트에 대한 명시적인 적분 공식을 유도한다: $\mathbb{E}^\textnormal{q-Boson}\prod_{i=1}^{\ell}q^{\mathfrak{h}_{\nu}(x_{i})} = (-1)^{\ell}q^{\frac{\ell(\ell-1)}{2}}\oint\cdots\oint\prod_{\alpha<\beta}\frac{w_{\alpha}-w_{\beta}}{w_{\alpha}-qw_{\beta}}\prod_{i=1}^{\ell}\frac{e^{(1-q)tw_{i}}}{w_{i}(1+w_{i})^{x_{i}-1}}$, $x_1 \geq \cdots \geq x_\ell \geq 1$ 및 $t \geq 0$ 에 대해 유효하다.
• q-보존 과정에 대한 공식은 [BC14] 및 [BCS14]에서의 기존 결과와 일치하여 이전 연구와의 일致성을 확인한다.
• 일반적인 고스피인 정점 모델의 모멘트 공식은 $w_i$에 의존하는 유리함수와 $s$를 중심으로 하는 $q$-중첩 경로 ${\boldsymbol{\gamma}}^{\scriptscriptstyle+}_{j}[s]$를 포함한 경로 적분으로 표현된다. 이 경로들은 0과 $s^{-1}$을 제외한다.
• 유도 과정은 양-바텍 방정식의 무한체적 극한을 통해 대칭 유리함수에 대한 편미분 카우치 항등식을 도출하는 데 기반한다.
• 대칭 유리함수는 할랜드-리틀우드 및 셔르 다항식을 일반화하며, 특정 경계 조건 하에서 정점 모델의 분할 함수로 정의된다.
• 이 프레임워크는 다양한 1+1차원 KPZ 모델을 통합한다: 적절한 매개변수 극한에서 공식은 ASEP, q-TASEP, 영역-범위 프로세스의 공식으로 특수화된다.