[논문 리뷰] Lectures on Linear Algebra over Division Ring

Aleks Kleyn|arXiv (Cornell University)|2007. 01. 09.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비가환성에 따라 발생하는 새로운 구조적 복잡성으로 인해, 체에서의 선형 대수 개념을 분할환으로 일반화함으로써 분할환 위에서의 선형 대수를 개발한다. 벡터 공간, 선형 방정식계, 텐서곱 등 개념을 일반화하며, 쌍대 표현, 준행렬식, 행렬에 대한 양방향환 구조를 도입하여 왼쪽과 오른쪽의 구조 간의 이중성을 확립함으로써 비가환 기하학에서 수동적 및 능동적 변환 간의 관계를 명확히 한다.

ABSTRACT

In this book i treat linear algebra over division ring. A system of linear equations over a division ring has properties similar to properties of a system of linear equations over a field. However, noncommutativity of a product creates a new picture. Matrices allow two products linked by transpose. Biring is algebra which defines on the set two correlated structures of the ring. As in the commutative case, solutions of a system of linear equations build up right or left vector space depending on type of system. We study vector spaces together with the system of linear equations because their properties have a close relationship. As in a commutative case, the group of automorphisms of a vector space has a single transitive representation on a frame manifold. This gives us an opportunity to introduce passive and active representations. Studying a vector space over a division ring uncovers new details in the relationship between passive and active transformations, makes this picture clearer. Considering of twin representations of division ring in Abelian group leads to the concept of D vector space and their linear map. Based on polyadditive map I considered definition of tensor product of rings and tensor product of D vector spaces.

연구 동기 및 목표

• 비가환성으로 인해 발생하는 새로운 구조적 복잡성 때문에, 체에서의 선형 대수 개념—예를 들어, 벡터 공간, 기저, 선형 방정식계—를 분할환으로 일반화하는 것.
• 비가환 환경에서 크래머의 법칙이 실패하는 문제를 해결하기 위해 준행렬식과 행렬에 대한 양방향환 구조를 도입하는 것.
• 쌍대 표현을 통해 왼쪽과 오른쪽의 벡터 공간 구조를 통합하고, 수동적 및 능동적 변환 간의 관계를 명확히 하는 이중성 원리를 확립하는 것.
• 기본 체 F 위에서 다중선형 사상과 보편 성질을 사용하여 D-벡터 공간과 환의 텐서곱을 정의하는 것.
• 분할환의 구조와 그 모듈러에 대한 작용을 기반으로 하여, 비가환 선형 대수의 기하학적 및 표현론적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 양방향환 구조를 행렬에 도입하여 양측 곱(왼쪽과 오른쪽)을 모델링함으로써 행과 열의 연산 간의 이중성을 가능하게 한다.
• 전치에 의해 연결된 두 가지 다른 곱을 통해 정의되는 준행렬식을 비가환 행렬식의 일반화로 도입함으로써 크래머의 법칙을 일반화한다.
• 자유 모듈러의 보편 성질과 몐체 생성을 사용하여 기초 체 F 위에서 D-벡터 공간의 텐서곱을 정의한다.
• 체 F 위의 다중선형 사상으로서, N이 이중선형 관계를 표현하는 몰모듈 M/N을 통해 텐서곱을 구성한다.
• 분할환 D의 아벨 군에서의 쌍대 표현을 통해 D-벡터 공간을 정의함으로써 일관된 왼쪽과 오른쪽 모듈러 구조를 가능하게 한다.
• 기본 사영 j: M → M/N과 보편 준동형사상 h: M/N → V를 포함하는 교환 다이어그램을 수립하여 텐서곱의 보편성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환성으로 인해 크래머의 법칙이 실패하므로, 체에서의 선형 방정식계 이론을 분할환으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 준행렬식은 비가환 분할환 위에서 선형 방정식계를 해결하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 아벨 군 위에서 분할환의 쌍대 표현은 어떻게 D-벡터 공간과 그 선형 사상의 일관된 정의를 이끌어내는가?
• RQ4 행렬에 대한 양방향환 구조는 비가환 선형 대수에서 행렬 곱셈과 전치의 이중성 원리를 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 기본 체 위에서 다중선형 사상과 보편 성질을 사용하여 D-벡터 공간의 텐서곱은 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• D-벡터 공간 V₁ ⊗ ... ⊗ Vₙ은 F × D 위의 자유 모듈 M에서 V₁ × ... × Vₙ를 생성자로 가지며, 이중선형 관계를 생성하는 부분모듈 N에 의해 M/N로 구성된다.
• f: V₁ × ... × Vₙ → M/N, f(v₁, ..., vₙ) = v₁ ⊗ ... ⊗ vₙ로 정의된 사상은 F 위의 다중선형 사상의 보편 성질을 만족한다.
• 텐서곱 V₁ ⊗ ... ⊗ Vₙ는 D₁ ⊗ ... ⊗ Dₙ에 대한 이중모듈러를 이룬다. 이는 가환 대수학에서의 텐서곱의 이중모듈러 구조를 일반화한다.
• 기본 사영 j: M → M/N는 f의 상이 M/N를 생성함을 보장하며, 다중선형 사상 g에 의해 유일하게 결정되는 준동형사상 h: M/N → V가 존재한다.
• 구성에 의해 v₁ ⊗ ... ⊗ (vᵢ + wᵢ) ⊗ ... ⊗ vₙ = v₁ ⊗ ... ⊗ vᵢ ⊗ ... ⊗ vₙ + v₁ ⊗ ... ⊗ wᵢ ⊗ ... ⊗ vₙ 및 v₁ ⊗ ... ⊗ (a vᵢ) ⊗ ... ⊗ vₙ = a (v₁ ⊗ ... ⊗ vᵢ ⊗ ... ⊗ vₙ)임을 확인함으로써 텐서곱의 이중선형성이 확인된다.
• i, j, k, h를 포함하는 교환 다이어그램을 통해 텐서곱의 보편성이 증명되며, 이는 임의의 다중선형 사상 g가 h를 통해 유일하게 인수분해됨을 보여준다.