[논문 리뷰] Left fibrations and homotopy colimits II

Gijs Heuts, Ieke Moerdijk|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 03.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 소형 심플리셜 카테고리 𝔄에 대한 심플리셜 다이어그램의 프로젝티브 모델 구조와 𝔄의 호모토피-일관성 뉘른의 코ariant 모델 구조 사이에 퀸 균형을 설정한다. 동치를 구성하기 위해 호모토피 코일림을 통한 왼쪽 퀸 함자를 정의하고, 이것이 퀸 균형임을 보이며, 이는 이전의 일반 카테고리에 대한 결과를 일반화하고 루리의 직선화-비직선화 동치의 대칭적 대응을 제공한다.

ABSTRACT

For a small simplicial category A, we prove that the homotopy colimit functor from the category of simplicial diagrams on A to the category of simplicial sets over the homotopy-coherent nerve of A provides a left Quillen equivalence between the projective model structure on the former category and the covariant model structure on the latter. We compare this Quillen equivalence to the straightening-unstraightening equivalence previously established by Lurie, where the left adjoint goes in the opposite direction. The existence of left Quillen functors in both directions considerably simplifies the proof that these constructions provide Quillen equivalences. The results of this paper generalize those of part I, where A was an ordinary category. The proofs for a simplicial category are more involved and can be read independently.

연구 동기 및 목표

• 일반 카테고리에서의 호모토피 코일림 퀸 균형을 심플리셜 카테고리로 일반화한다.
• 루리의 직선화-비직선화 동치의 대칭적 퀸 균형을 확립하기 위해 반대 방향으로 왼쪽 퀸 함자를 구성한다.
• 양방향에서 왼쪽 퀸 함자를 노출시킴으로써 퀸 균형 증명을 단순화한다.
• 일반 카테고리보다 더 정교한 기법이 필요한 심플리셜 카테고리의 맥락으로 왼쪽 피브레이션과 호모토피 코일림의 프레임워크를 확장한다.
• 심플리셜 함자를 유도하는 함자들 사이의 자연 변환을 코프라임 객체에서 약한 동치로 보장함으로써 유도 함자와의 호환성을 확보한다.

제안 방법

• 함수 $ h_! : \mathbf{sSets}^{\mathbf{A}} \to \mathbf{sSets}/w^*\mathbf{A} $ 를 $ h: \mathbf{A}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{sSets}/w^*\mathbf{A} $ 의 심플리셜 왼쪽 칸 확장으로 정의하며, 여기서 $ h(a) = a/w^*\mathbf{A} $ 이다.
• 심플리셜 다이어그램의 카테고리 $ \mathbf{sSets}^{\mathbf{A}} $ 에는 프로젝티브 모델 구조를, $ \mathbf{sSets}/w^*\mathbf{A} $ 에는 코바리언트 모델 구조를 부여한다.
• $ h_! $ 가 왼쪽 퀸 함자이고, Quillen 수반 쌍 $ (h_!, h^*) $ 의 일부임을 보인다.
• $ h_! $ 와 함자 $ \mathbf{sSets}/w^*\mathbf{A} \to \mathbf{sSets} $ 의 잊혀진 함자와의 복합이 자연스럽게 $ \mathrm{hocolim}_{\mathbf{A}} $ 와 동치임을 증명한다.
• 심플리셜 함자 $ F: \mathbf{A} \to \mathbf{B} $ 에 의해 유도되는 자연 변환 $ H: (w^*F)_! \circ h_!^\mathbf{A} \to h_!^\mathbf{B} \circ F_! $ 가 코프라임 객체에서 코바리언트 약한 동치임을 이용하여 유도 함자 호환성을 확립한다.
• 루리의 직선화-비직선화 구성에서 유도된 수반 쌍 $ (r_!, r^*) $ 을 활용하고, $ \mathbf{A} $ 가 피브레이션일 경우 $ (h_!, h^*) $ 와 $ (r_!, r^*) $ 가 모두 퀸 균형임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플리셜 카테고리 𝔄에 대한 심플리셜 다이어그램에서 $ w^*\mathbf{A} $ 위의 심플리셜 집합으로의 호모토피 코일림 함자가 퀸 균형으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 일반 카테고리의 경우를 일반화하여 심플리셜 카테고리의 맥락에서 다이어그램과 오버카테고리 간의 퀸 균형을 확립할 수 있는가?
• RQ3 새로운 왼쪽 퀸 함자 $ h_! $ 는 반대 방향에서 루리의 직선화-비직선화 동치와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 심플리셜 함자 $ F: \mathbf{A} \to \mathbf{B} $ 가 유도하는 자연 변환은 코프라임 객체에서 약한 동치인가, 이를 통해 유도 함자 호환성이 보장되는가?
• RQ5 $ \mathbf{A} $ 가 피브레이션 심플리셜 카테고리일 때, 퀸 쌍 $ (h_!, h^*) $ 가 퀸 균형이 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $ h_! $ 는 $ \mathbf{sSets}^{\mathbf{A}} $ 의 프로젝티브 모델 구조에서 $ \mathbf{sSets}/w^*\mathbf{A} $ 의 코바리언트 모델 구조로의 왼쪽 퀸 함자이며, Quillen 수반 쌍을 이룬다.
• $ h_! $ 와 함자 $ \mathbf{sSets}/w^*\mathbf{A} \to \mathbf{sSets} $ 의 복합은 자연스럽게 호모토피 코일림 함자 $ \mathrm{hocolim}_{\mathbf{A}} $ 와 동치이다.
• 피브레이션 심플리셜 카테고리 $ \mathbf{A} $ 에 대해 퀸 쌍 $ (h_!, h^*) $ 는 퀸 균형이다.
• 유도 함자 $ \mathbf{L}h_! $ 는 $ \mathbf{L}(w^*F)_! $, $ \mathbf{L}h_! \circ \mathbf{L}r_! $, $ \mathbf{L}\overline{F}_! $ 를 포함하는 자연스러운 동치의 사슬을 통해 오른쪽 준역함수를 갖는다. 여기서 $ \overline{F} $ 는 카테고리 동치이다.
• 루리의 직선화-비직선화에서 유도된 수반 쌍 $ (r_!, r^*) $ 도 퀸 균형이며, $ \mathbf{L}r_! $ 는 왼쪽 준역함수를 갖는다. 이는 그 유도 동치임을 확인한다.
• $ (w^*F)_! \circ h_!^\mathbf{A} \to h_!^\mathbf{B} \circ F_! $ 의 자연 변환 $ H $ 는 프로젝티브 코프라임 객체에서 코바리언트 약한 동치이다. 이는 유도 함자 간 호환성을 보장한다.